n维高斯分布的概率密度函数

n维高斯分布的概率密度函数是：

$f(x) = \frac{1}{(2\pi)^{\frac{n}{2}}|\Sigma|^{\frac{1}{2}}} e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}$

其中，$x$ 是一个 $n$ 维列向量，$\mu$ 是 $n$ 维列向量，$\Sigma$ 是 $n \times n$ 的协方差矩阵，$|\Sigma|$ 表示 $\Sigma$ 的行列式。$T$ 表示矩阵的转置。

该概率密度函数描述了一个 $n$ 维随机向量在服从高斯分布的情况下，落在某个区域内的概率密度。在实际应用中，高斯分布经常被用来描述随机变量的分布情况，因为它具有许多良好的数学性质，并且在许多情况下能够很好地拟合实际数据。

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基于matlab计算N维高斯分布连续信源相对熵

在MATLAB中，可以使用`mvnpdf`函数和`entropy`函数来计算N维高斯分布的连续信源和相对熵。以下是一个示例代码：

% 定义两个N维高斯分布的均值向量和协方差矩阵
mu1 = [0 0];
sigma1 = [1 0.5; 0.5 1];
mu2 = [1 1];
sigma2 = [2 -1; -1 2];

% 计算两个高斯分布的概率密度函数
x1 = -3:0.1:3; x2 = -3:0.1:3;
[X1,X2] = meshgrid(x1,x2);
X = [X1(:) X2(:)];
p1 = mvnpdf(X,mu1,sigma1);
p2 = mvnpdf(X,mu2,sigma2);

% 计算两个高斯分布的连续信源熵和相对熵
h1 = entropy(p1);
h2 = entropy(p2);
Dkl = kldiv(p1,p2);

% 显示结果
figure;
subplot(1,3,1); contour(x1,x2,reshape(p1,length(x2),length(x1))); title('p1');
subplot(1,3,2); contour(x1,x2,reshape(p2,length(x2),length(x1))); title('p2');
subplot(1,3,3); bar([h1 h2 Dkl]); title('Entropy and KL divergence');
legend('h(p1)','h(p2)','D_{KL}(p1||p2)');

其中，`mvnpdf`函数用于计算高斯分布的概率密度函数，`entropy`函数用于计算概率密度函数的连续信源熵，`kldiv`函数用于计算两个概率密度函数之间的KL散度（相对熵）。在运行代码后，将显示两个高斯分布的概率密度函数和它们的连续信源熵以及相对熵。

高斯正态分布和多元正态分布是同一分布吗？

高斯正态分布和多元正态分布不是同一分布，但它们之间存在一定的联系。

高斯正态分布，也称为一维正态分布，是指随机变量 X 满足均值为 μ，方差为 σ^2 的概率分布，通常表示为 N(μ, σ^2)。在一维正态分布中，随机变量 X 的取值只有一个。

而多元正态分布是指多个随机变量 X1, X2, ..., Xn 满足联合正态分布的概率分布。它的概率密度函数是一个 n 维高斯函数，通常表示为 N(μ, Σ)，其中 μ 是一个 n 维向量，Σ 是一个 n×n 的协方差矩阵。在多元正态分布中，随机变量 X 可以取多个值。

因此，高斯正态分布是多元正态分布的一种特殊情况，即当 n=1 时，多元正态分布就变成了高斯正态分布。