1.采用matlab实现最小范数方法。 2.设计一种基于最小范数的图像复原方法，设置迭代步数和误差阈值，分析该算法的收敛特性。

1. 最小范数方法

最小范数方法是一种广泛应用于线性方程组求解的数值方法，它的基本思想是将问题转化为求解一个最小化一定范数的优化问题。对于一个线性方程组 $Ax=b$，其中 $A$ 是一个 $m\times n$ 的矩阵，$b$ 是一个 $m\times 1$ 的向量，最小范数方法的求解过程可以描述为：

$$\min_x \|x\|_p~~~~~s.t.~~~Ax=b$$

其中 $p$ 表示所求解的范数类型，常用的有 $p=1$、$p=2$ 和 $p=\infty$。当 $p=2$ 时，上述问题可以表示为：

$$\min_x \|x\|_2~~~~~s.t.~~~Ax=b$$

此时，我们可以通过最小化 $\|Ax-b\|_2$ 来获得 $x$ 的最小二范数解。具体地，我们可以应用拉格朗日乘子法，将上述问题转化为一个无约束的最小化问题：

$$\min_x \frac{1}{2}\|Ax-b\|_2^2+\lambda \|x\|_2^2$$

其中，$\lambda$ 是一个正则化参数，用于平衡模型的拟合程度和模型的复杂度。通过求解上式的偏导数，我们可以得到最小范数解：

$$x=(A^TA+\lambda I)^{-1}A^Tb$$

2. 基于最小范数的图像复原方法

在实际应用中，我们常常需要对受到损伤的图像进行修复，使其恢复到原始状态。基于最小范数的方法可以用于图像复原中，其具体步骤如下：

（1）将原始图像 $I$ 转化为向量 $x$，并添加高斯噪声，得到观测向量 $b$。

（2）构造矩阵 $A$ 来描述图像的重构过程，比如使用差分算子。

（3）设置迭代步数和误差阈值，通过最小化 $\|Ax-b\|_2$ 来获得图像的最小二范数解。

（4）将最小二范数解转化为图像形式，即可得到复原后的图像。

分析该算法的收敛特性，可以考虑使用误差曲线来观察算法的收敛情况。在每次迭代中，我们可以计算当前解与真实解之间的误差，观察误差随迭代次数的变化情况。通常情况下，随着迭代次数的增加，误差会逐渐降低并趋于稳定，直至达到设定的误差阈值。因此，通过观察误差曲线，我们可以判断该算法是否收敛，并确定合适的迭代步数和误差阈值。