给定s,v,t求从s到t不经过v的路径有几条,给出一个动态规划算法,说明各变量定义和递推关系式
时间: 2024-02-19 09:04:10 浏览: 22
假设图中有 $n$ 个节点,$m$ 条边,我们可以使用动态规划来解决此问题。
我们定义 $dp[i][j]$ 为从节点 $i$ 出发,到节点 $j$ 且不经过节点 $v$ 的路径数量。则最终答案为 $dp[s][t]$。
首先初始化 $dp$ 数组,当 $i=v$ 时,$dp[i][j]=0$;当 $i\neq v$ 且 $(i,j)$ 存在一条边时,$dp[i][j]=1$,否则为 $0$。
然后,我们考虑状态转移方程。对于任意一个节点 $k$,如果 $k\neq v$ 且 $(i,k)$ 存在一条边,则 $dp[i][j]+=dp[k][j]$。这是因为从 $i$ 到 $j$ 不经过 $v$ 的路径可以分为两类:经过 $k$ 和不经过 $k$。对于第一类路径,它们的数量就是 $dp[k][j]$;对于第二类路径,它们的数量就是 $dp[i][j]$。
最终,我们只需要输出 $dp[s][t]$ 即可。
以下是时间复杂度为 $O(mn^2)$ 的动态规划算法的代码实现:
```python
def count_paths(s, v, t, n, edges):
dp = [[0] * n for _ in range(n)]
for i in range(n):
for j in range(n):
if i == v:
dp[i][j] = 0
elif (i, j) in edges:
dp[i][j] = 1
else:
dp[i][j] = 0
for k in range(n):
for i in range(n):
for j in range(n):
if i != v and (i, k) in edges:
dp[i][j] += dp[k][j]
return dp[s][t]
```
其中,$n$ 为节点数量,$edges$ 是边的集合,每个元素表示一条边 $(i,j)$。
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