二阶微分方程龙格库塔法

二阶微分方程可以用龙格库塔法进行数值求解。首先将二阶微分方程转化为一组一阶微分方程，即：

$$\begin{cases} y_1' = y_2 \\ y_2' = f(x, y_1, y_2) \end{cases}$$

其中 $y_1(x)$ 为原方程的解，$y_2(x) = y_1'(x)$，$f(x, y_1, y_2)$ 是原方程中关于 $y_1$ 和 $y_2$ 的函数。

然后我们可以使用龙格库塔法对上述一阶微分方程组进行数值求解。假设我们要求解 $x\in [a, b]$ 区间内的解，将该区间等分为 $n$ 个小区间，步长为 $h = \frac{b-a}{n}$。则有：

$$\begin{aligned} &y_{1, i+1} = y_{1, i} + \frac{1}{6}(k_{1, i} + 2k_{2, i} + 2k_{3, i} + k_{4, i}) \\ &y_{2, i+1} = y_{2, i} + \frac{1}{6}(l_{1, i} + 2l_{2, i} + 2l_{3, i} + l_{4, i}) \end{aligned}$$

其中 $y_{1, i}$ 和 $y_{2, i}$ 分别代表 $y_1$ 和 $y_2$ 在 $i$ 时刻的数值近似，$k$ 和 $l$ 的计算公式如下：

$$\begin{aligned} &k_{1, i} = h y_{2, i} \\ &l_{1, i} = h f(x_i, y_{1, i}, y_{2, i}) \\ &k_{2, i} = h (y_{2, i} + \frac{1}{2}l_{1, i}) \\ &l_{2, i} = h f(x_i + \frac{1}{2}h, y_{1, i} + \frac{1}{2}k_{1, i}, y_{2, i} + \frac{1}{2}l_{1, i}) \\ &k_{3, i} = h (y_{2, i} + \frac{1}{2}l_{2, i}) \\ &l_{3, i} = h f(x_i + \frac{1}{2}h, y_{1, i} + \frac{1}{2}k_{2, i}, y_{2, i} + \frac{1}{2}l_{2, i}) \\ &k_{4, i} = h (y_{2, i} + l_{3, i}) \\ &l_{4, i} = h f(x_i + h, y_{1, i} + k_{3, i}, y_{2, i} + l_{3, i}) \end{aligned}$$

最后，我们可以从 $y_{1, 0}$ 和 $y_{2, 0}$ 开始，依次计算 $y_{1, 1}$ 和 $y_{2, 1}$，$y_{1, 2}$ 和 $y_{2, 2}$，直到 $y_{1, n}$ 和 $y_{2, n}$，这样就得到了数值解。