x^3-x^2-x-1=0松弛加速迭代

松弛加速迭代方法（Relaxation Iteration Method）是一种常用的数值计算方法，用于解决非线性方程组的问题。它的主要思想是在每次迭代中，通过引入一个松弛因子来加速收敛过程。

对于方程x^3-x^2-x-1=0，我们可以将其转化为迭代形式：

x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f'(x(k))

其中，f(x) = x^3-x^2-x-1，f'(x) = 3x^2-2x-1。对于初始值x(0)，我们可以任选一个值。

在松弛加速迭代法中，我们引入一个松弛因子ω，使得每次迭代的公式变为：

x(k+1) = x(k) - ω*f(x(k))/f'(x(k))

其中ω是一个介于0和2之间的实数，通常选择1作为初始值。每次迭代中，我们根据当前的x(k)和ω，计算出x(k+1)，然后用x(k+1)来更新x(k)，直到满足收敛条件为止。

具体来说，我们可以设定一个收敛精度ε，判断当前的迭代是否收敛。具体做法是计算当前的f(x(k))的绝对值，如果小于ε，则认为已经收敛，停止迭代；否则继续进行迭代。

下面是使用MATLAB实现松弛加速迭代法求解方程x^3-x^2-x-1=0的代码：

function [x, k] = relax_iter(f, df, x0, omega, eps)
% f: 方程的函数句柄
% df: 方程的导函数句柄
% x0: 初始值
% omega: 松弛因子
% eps: 收敛精度
% x: 方程的解
% k: 迭代次数

% 初始化迭代变量
x = x0;
k = 0;

while true
    % 计算当前的函数值和导数值
    fx = f(x);
    dfx = df(x);

    % 计算下一个迭代点
    x_next = x - omega * fx / dfx;

    % 判断是否已经达到收敛精度
    if abs(fx) < eps
        break;
    end

    % 更新迭代变量
    x = x_next;
    k = k + 1;
end
end

使用该函数求解方程x^3-x^2-x-1=0，可以调用如下代码：

f = @(x) x^3 - x^2 - x - 1;
df = @(x) 3*x^2 - 2*x - 1;
x0 = 1;
omega = 1;
eps = 1e-6;

[x, k] = relax_iter(f, df, x0, omega, eps);
fprintf('x = %f, k = %d\n', x, k);

其中，f和df分别是方程和它的导数的函数句柄，x0是初始值，omega是松弛因子，eps是收敛精度。最终输出方程的解x和迭代次数k。