多分类输出层的前馈神经网络

多分类输出层的前馈神经网络通常使用Softmax作为输出层的激活函数。Softmax函数可以将输出层的多个节点的输出值映射为概率值，从而进行多分类任务的预测。

具体地，假设输出层有K个节点，分别表示K个类别，对于第k个节点，它的输出值为$z_k$，则该节点的输出值经过Softmax函数处理后为：

$$y_k = \frac{e^{z_k}}{\sum_{i=1}^K e^{z_i}}$$

其中，分母为所有节点的输出值的指数函数之和，分子为该节点的输出值的指数函数。

Softmax函数的输出值可以理解为对于每一个类别的概率值，值越大表示越有可能属于该类别。因此，在进行多分类任务时，我们可以通过比较各个类别的概率值，来预测输入数据所属的类别。

在神经网络的训练过程中，通常采用交叉熵损失函数来衡量预测值与真实标签值之间的差异。对于输出层的第k个节点，它的损失函数为：

$$L_k = -y_{real,k} log(y_k)$$

其中，$y_{real,k}$表示真实标签值的第k个元素，$y_k$表示该节点的输出值，$log()$表示自然对数函数。对于整个输出层，它的损失函数为各节点损失函数之和：

$$L = -\sum_{k=1}^K y_{real,k} log(y_k)$$

在训练过程中，需要通过反向传播算法来计算神经网络中各层的权重和偏置的梯度，以便进行参数更新。具体地，对于输出层的第k个节点，它的梯度为：

$$\frac{\partial L}{\partial z_k} = y_k - y_{real,k}$$

其中，$y_k$表示该节点的输出值，$y_{real,k}$表示真实标签值的第k个元素。

对于其他隐藏层节点，它们的梯度需要根据后续节点的梯度进行计算。在计算完输出层节点的梯度后，可以使用链式法则来计算各层的梯度。最终，通过梯度下降算法来更新各层的权重和偏置，从而使得神经网络能够更好地拟合训练数据，提高预测的准确率。