详细举例说明反卷积的计算过程

假设我们有一个大小为 $4 \times 4$ 的低分辨率特征图 $X$，卷积核 $K$ 的大小为 $3 \times 3$，步长为 1，填充为 0。我们需要将 $X$ 还原为一个大小为 $8 \times 8$ 的高分辨率特征图 $Y$，则反卷积的计算过程如下：

1. 将 $X$ 按照卷积步长填充为 $6 \times 6$ 的矩阵 $X_p$：

$$
X_p = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & x_{11} & x_{12} & x_{13} & x_{14} & 0 \\
0 & x_{21} & x_{22} & x_{23} & x_{24} & 0 \\
0 & x_{31} & x_{32} & x_{33} & x_{34} & 0 \\
0 & x_{41} & x_{42} & x_{43} & x_{44} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

2. 对 $X_p$ 进行卷积操作，得到一个 $4 \times 4$ 的特征图 $Z$：

$$
Z = K * X_p = \begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} & z_{13} & z_{14} \\
z_{21} & z_{22} & z_{23} & z_{24} \\
z_{31} & z_{32} & z_{33} & z_{34} \\
z_{41} & z_{42} & z_{43} & z_{44} \\
\end{bmatrix}
$$

3. 将 $Z$ 按照卷积步长填充为 $6 \times 6$ 的矩阵 $Z_p$：

$$
Z_p = \begin{bmatrix}
z_{11} & z_{12} & z_{13} & z_{14} & 0 & 0 \\
z_{21} & z_{22} & z_{23} & z_{24} & 0 & 0 \\
z_{31} & z_{32} & z_{33} & z_{34} & 0 & 0 \\
z_{41} & z_{42} & z_{43} & z_{44} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

4. 对 $Z_p$ 进行卷积操作，得到一个 $7 \times 7$ 的特征图 $W$：

$$
W = K * Z_p = \begin{bmatrix}
w_{11} & w_{12} & w_{13} & w_{14} & w_{15} & w_{16} & w_{17} \\
w_{21} & w_{22} & w_{23} & w_{24} & w_{25} & w_{26} & w_{27} \\
w_{31} & w_{32} & w_{33} & w_{34} & w_{35} & w_{36} & w_{37} \\
w_{41} & w_{42} & w_{43} & w_{44} & w_{45} & w_{46} & w_{47} \\
w_{51} & w_{52} & w_{53} & w_{54} & w_{55} & w_{56} & w_{57} \\
w_{61} & w_{62} & w_{63} & w_{64} & w_{65} & w_{66} & w_{67} \\
w_{71} & w_{72} & w_{73} & w_{74} & w_{75} & w_{76} & w_{77} \\
\end{bmatrix}
$$

5. 将 $W$ 按照卷积步长填充为 $8 \times 8$ 的矩阵 $Y$：

$$
Y = \begin{bmatrix}
w_{11} & w_{12} & w_{13} & w_{14} & w_{15} & w_{16} & w_{17} & 0 \\
w_{21} & w_{22} & w_{23} & w_{24} & w_{25} & w_{26} & w_{27} & 0 \\
w_{31} & w_{32} & w_{33} & w_{34} & w_{35} & w_{36} & w_{37} & 0 \\
w_{41} & w_{42} & w_{43} & w_{44} & w_{45} & w_{46} & w_{47} & 0 \\
w_{51} & w_{52} & w_{53} & w_{54} & w_{55} & w_{56} & w_{57} & 0 \\
w_{61} & w_{62} & w_{63} & w_{64} & w_{65} & w_{66} & w_{67} & 0 \\
w_{71} & w_{72} & w_{73} & w_{74} & w_{75} & w_{76} & w_{77} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$

最终，我们得到了一个大小为 $8 \times 8$ 的高分辨率特征图 $Y$，其中每个像素的值都是通过反卷积计算得到的。