在度量空间中 如何证明inf{d(x,z)+d(z,y)}≤d(x,y)

在度量空间中，我们可以利用三角不等式来证明这个结论。具体来说，对于任意的 $z\in X$，我们有：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

这是三角不等式的基本性质。因此，我们可以找到一个 $z^*$，使得：

$$d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$

即 $d(x,y)$ 是 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 的一个上界。因此，我们有：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$

又因为 $d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$，所以：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

这就证明了 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$。

相关问题

解决度量空间中 如何证明inf{d(x,z)+d(z,y)}≤d(x,y)+inf{d(z,z)}

在度量空间 $(X,d)$ 中，我们有以下三角不等式成立：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

对于任意的 $x,y,z \in X$。这个不等式的意义是，从 $x$ 到 $y$ 的路径可以通过先到达 $z$，再从 $z$ 到 $y$ 来实现，而这个路径的长度不会超过直接从 $x$ 到 $y$ 的距离。

我们可以对上面的不等式进行一些变形：

$$d(x,z) + d(z,y) \geq d(x,y) - d(z,z)$$

等式两边同时加上 $d(z,z)$：

$$d(x,z) + d(z,y) + d(z,z) \geq d(x,y)$$

因为 $d(z,z) = 0$，所以：

$$d(x,z) + d(z,y) \geq d(x,y)$$

这就是我们想要证明的不等式。因此：

$$\inf_{z \in X} (d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y) \leq d(x,y) + \inf_{z \in X} d(z,z)$$

其中，$\inf$ 表示下确界，$z$ 是 $X$ 中的任意元素。上面的不等式表明，对于度量空间 $(X,d)$ 中的任意 $x,y \in X$，$\inf_{z \in X} (d(x,z) + d(z,y))$ 是 $x$ 到 $y$ 的最短距离的一个下界，$d(x,y) + \inf_{z \in X} d(z,z)$ 是 $x$ 到 $y$ 的一个上界。

解决度量空间中 如何证明inf{d(x,z)+d(z,y)}≤d(x,y)

在度量空间 $(X,d)$ 中，我们有以下三角不等式成立：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

对于任意的 $x,y,z \in X$。这个不等式的意义是，从 $x$ 到 $y$ 的路径可以通过先到达 $z$，再从 $z$ 到 $y$ 来实现，而这个路径的长度不会超过直接从 $x$ 到 $y$ 的距离。

因此，对于任意的 $x,y \in X$，我们都有：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

因为 $\inf$ 表示下确界，所以对于任意的 $\epsilon > 0$，都存在 $z \in X$，使得：

$$d(x,z) + d(z,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) + \epsilon$$

因此：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) + \epsilon$$

由于 $\epsilon$ 是任意的正数，所以：

$$d(x,y) \leq \inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y))$$

因此，我们证明了：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

这就是我们需要证明的不等式。