在度量空间中 如何证明inf{d(x,z)+d(z,y)}≤d(x,y)

在度量空间中，我们可以利用三角不等式来证明这个结论。具体来说，对于任意的 $z\in X$，我们有：

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y)$$

这是三角不等式的基本性质。因此，我们可以找到一个 $z^*$，使得：

$$d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$

即 $d(x,y)$ 是 $d(x,z^*) + d(z^*,y)$ 的一个上界。因此，我们有：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$$

又因为 $d(x,y) \leq d(x,z^*) + d(z^*,y)$，所以：

$$\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$$

这就证明了 $\inf_{z \in X}(d(x,z) + d(z,y)) \leq d(x,y)$。