设某网店每天接到的订单数服从参数为 20 的泊松分布．若一年 365 天该网店都营 业，且假设每天得到的订单数相互独立．求该网店一年至少得到 7000 个订单的概率的 近似值

根据泊松分布的定义，订单数 $X$ 的概率质量函数为：

$$ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!} $$

其中 $\lambda=20$ 表示平均每天接到的订单数。由于每天接到的订单数相互独立，所以一年接到的订单数 $Y$ 服从参数为 $365\times20=7300$ 的泊松分布。所以：

$$ P(Y\geq 7000)=1-P(Y<7000)=1-\sum_{k=0}^{6999}\frac{e^{-7300}7300^k}{k!} $$

这个求和式比较困难，我们可以使用泊松分布的一个近似公式：当 $\lambda$ 较大时，泊松分布可以用正态分布来近似。具体来说，如果 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，那么当 $\lambda$ 较大时，可以近似地认为 $X$ 的取值服从均值为 $\lambda$、方差为 $\lambda$ 的正态分布。也就是说：

$$ X\sim\mathcal{N}(\lambda,\lambda) $$

对于一年接到的订单数 $Y$，我们有：

$$ Y\sim\mathcal{N}(7300,7300) $$

所以：

$$ P(Y\geq 7000)\approx P\left(Z\geq \frac{7000-7300}{\sqrt{7300}}\right) $$

其中 $Z$ 是标准正态分布。计算可得：

$$ P(Y\geq 7000)\approx P(Z\geq -2.35)=1-P(Z< -2.35)\approx 0.9905 $$

所以该网店一年至少得到 7000 个订单的概率的近似值为 0.9905。