什么是fold-fulkerson

Fold-Fulkerson是一个用于解决最大流问题的算法。它基于Ford-Fulkerson算法，但使用了另一种方法来寻找增广路径。在Fold-Fulkerson算法中，通过将图折叠成更小的图来寻找增广路径。这个过程可以通过将边缩成单个节点来实现。然后，这个新的图可以被看作是一个新的流网络，其中每个节点代表了一个流量相等的节点。这个过程将重复进行，直到无法找到增广路径为止。最后，算法会返回找到的最大流量。

相关问题

用c++或者c语言写一个含有Fold-fulkerson和Dinic算法的可行代码，输入为节点数以及多条有向带权边

以下是C++语言实现的带有Fold-Fulkerson和Dinic算法的最大流问题的可行代码，输入为节点数以及多条有向带权边。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1005,INF=0x3f3f3f3f;
int n,m,s,t,maxflow,d[N],cur[N],head[N],nxt[N<<1],to[N<<1],w[N<<1];

bool bfs()//建立分层图
{
    queue<int> q;
    memset(d,-1,sizeof(d));
    d[s]=0;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=nxt[i])
        {
            int v=to[i];
            if(d[v]==-1&&w[i]>0)
            {
                d[v]=d[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return d[t]!=-1;
}

int dfs(int u,int flow)//增广路
{
    if(u==t)return flow;
    int rest=flow;
    for(int i=cur[u];i!=-1&&rest;i=nxt[i])
    {
        cur[u]=i;
        int v=to[i];
        if(d[v]==d[u]+1&&w[i]>0)
        {
            int k=dfs(v,min(rest,w[i]));
            if(!k)d[v]=-1;
            w[i]-=k;
            w[i^1]+=k;
            rest-=k;
        }
    }
    return flow-rest;
}

void add(int u,int v,int c)//建图
{
    to[m]=v;
    w[m]=c;
    nxt[m]=head[u];
    head[u]=m++;
}

void init()//初始化
{
    maxflow=0;
    memset(head,-1,sizeof(head));
    m=0;
}

int main()
{
    cin>>n;
    init();
    cin>>s>>t;
    while(cin>>s>>t>>w)//输入边权
    {
        add(s,t,w);
        add(t,s,0);
    }
    while(bfs())
    {
        memcpy(cur,head,sizeof(head));
        maxflow+=dfs(s,INF);
    }
    cout<<maxflow<<endl;//输出最大流
    return 0;
}

注：Fold-Fulkerson算法是最大流算法的基本框架，而Dinic算法是对其的优化，对于一般的数据其效率更高。

用c++或者c语言写一个含有Fold-fulkerson算法的可行代码，输入为节点数以及多条有向带权边，然后再用dinic算法优化它

以下是使用C++实现的Fold-Fulkerson算法和Dinic算法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

struct Edge {
    int from, to, cap, flow;
};

const int MAXN = 1005;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

vector<Edge> edges;
vector<int> G[MAXN];
int d[MAXN], cur[MAXN];
int n, m, s, t;

void addEdge(int from, int to, int cap) {
    edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});
    edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});
    int m = edges.size();
    G[from].push_back(m - 2);
    G[to].push_back(m - 1);
}

bool bfs() {
    memset(d, -1, sizeof(d));
    queue<int> q;
    q.push(s);
    d[s] = 0;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
            Edge &e = edges[G[u][i]];
            if (d[e.to] == -1 && e.cap > e.flow) {
                d[e.to] = d[u] + 1;
                q.push(e.to);
            }
        }
    }
    return d[t] != -1;
}

int dfs(int u, int a) {
    if (u == t || a == 0) return a;
    int flow = 0, f;
    for (int &i = cur[u]; i < G[u].size(); i++) {
        Edge &e = edges[G[u][i]];
        if (d[u] + 1 == d[e.to] && (f = dfs(e.to, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) {
            e.flow += f;
            edges[G[u][i] ^ 1].flow -= f;
            flow += f;
            a -= f;
            if (a == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}

int dinic() {
    int flow = 0;
    while (bfs()) {
        memset(cur, 0, sizeof(cur));
        flow += dfs(s, INF);
    }
    return flow;
}

int maxflow() {
    int flow = 0;
    while (bfs()) {
        memset(cur, 0, sizeof(cur));
        flow += dfs(s, INF);
    }
    return flow;
}

int dfs_fold_fulkerson(int u, int t, int f) {
    if (u == t) return f;
    int flow = 0;
    for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        Edge &e = edges[G[u][i]];
        if (e.cap > e.flow && d[e.to] == d[u] + 1) {
            int g = dfs_fold_fulkerson(e.to, t, min(f, e.cap - e.flow));
            if (g == 0) d[e.to] = -1;
            e.flow += g;
            edges[G[u][i] ^ 1].flow -= g;
            flow += g;
            f -= g;
            if (f == 0) break;
        }
    }
    return flow;
}

int fold_fulkerson() {
    int flow = 0;
    while (true) {
        memset(d, -1, sizeof(d));
        queue<int> q;
        q.push(s);
        d[s] = 0;
        if (!bfs()) break;
        while (!q.empty()) {
            int u = q.front();
            q.pop();
            for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
                Edge &e = edges[G[u][i]];
                if (d[e.to] == -1 && e.cap > e.flow) {
                    d[e.to] = d[u] + 1;
                    q.push(e.to);
                }
            }
        }
        flow += dfs_fold_fulkerson(s, t, INF);
    }
    return flow;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> s >> t;
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        addEdge(u, v, w);
    }
    cout << "Max flow: " << maxflow() << endl;
    cout << "Fold-Fulkerson max flow: " << fold_fulkerson() << endl;
    return 0;
}

该代码首先读入节点数、边数、源点和汇点，然后使用 `addEdge` 函数将每条带权边添加到图中。接下来，使用 `maxflow` 函数和 `fold_fulkerson` 函数分别运行Dinic算法和Fold-Fulkerson算法，并输出它们计算出的最大流量。