使用递归实现二分查找算法

二分查找算法（Binary Search）是一种高效的查找算法，它可以在有序数组中快速查找指定元素。下面是使用递归实现二分查找算法的代码：

def binary_search_recursive(arr, left, right, target):
    if left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        if arr[mid] == target:
            return mid
        elif arr[mid] < target:
            return binary_search_recursive(arr, mid + 1, right, target)
        else:
            return binary_search_recursive(arr, left, mid - 1, target)
    else:
        return -1

解释一下代码：

- `arr` 是一个有序的数组，`left` 和 `right` 分别表示数组的左右边界，`target` 是要查找的目标元素。
- 首先判断左右边界是否合法，如果左边界大于右边界，说明目标元素不存在于数组中，返回 -1。
- 否则计算中间位置 `mid`，如果中间位置的元素等于目标元素，直接返回 `mid`。
- 如果中间位置的元素小于目标元素，说明目标元素在右半部分，递归调用函数，在右半部分查找目标元素。
- 如果中间位置的元素大于目标元素，说明目标元素在左半部分，递归调用函数，在左半部分查找目标元素。

使用示例：

arr = [1, 3, 5, 7, 9]
target = 5
index = binary_search_recursive(arr, 0, len(arr) - 1, target)
print(index)  # 输出 2

这里在有序数组 `[1, 3, 5, 7, 9]` 中查找元素 `5`，返回的下标为 `2`。