用matlab求解$\frac{dTs}{dt}=\frac{E}{4\pi r^2}\frac{L}{M}+\frac{T-Ts}{\tau}$

这是一个常微分方程的初值问题，可以使用Matlab中的ode45函数求解。

首先将方程转化为标准形式：

$$\frac{dTs}{dt}=-\frac{E}{4\pi r^2}\frac{L}{M}+\frac{T}{\tau}-\frac{Ts}{\tau}$$

然后定义函数：

function dTsdt = myfunc(t, Ts, E, r, L, M, T, tau)
    dTsdt = -(E/(4*pi*r^2))*(L/M) + T/tau - Ts/tau;
end

其中，输入变量t为时间，Ts为温度，E、r、L、M、T、tau为常数。函数返回值dTsdt即为方程右侧的值。

接下来，设定初值和时间范围，调用ode45函数求解：

E = 1; r = 1; L = 1; M = 1; T = 1; tau = 1;
[Ts, t] = ode45(@(t, Ts) myfunc(t, Ts, E, r, L, M, T, tau), [0, 10], 0);

这里的初值为Ts(0)=0，时间范围为[0, 10]。ode45函数的第一个输入为匿名函数，即上面定义的myfunc函数；第二个输入为时间范围；第三个输入为初值。

最后可用plot函数绘制出温度随时间的变化曲线：

plot(t, Ts);
xlabel('Time');
ylabel('Temperature');

这样就可以求解出该常微分方程的数值解。

相关问题

用matlab求解$$\frac{dV}{dt}=k(SVP-RH)S$$ $$\frac{dRH}{dt}=\frac{k}{V}(SVP-RH)S$$的程序

可以使用 MATLAB 的 ode45 函数求解该微分方程组。

首先，定义一个函数，返回每个方程的导数值：

function dydt = myode(t, y, k, S, SVP)
    V = y(1);
    RH = y(2);
    dVdt = k * (SVP - RH) * S;
    dRHdt = k / V * (SVP - RH) * S;
    dydt = [dVdt; dRHdt];
end

然后，定义参数和初始条件：

k = 0.1;
S = 1;
SVP = 100;
y0 = [200; 50];

最后，调用 ode45 函数求解微分方程组：

tspan = [0 10];
[t, y] = ode45(@(t, y) myode(t, y, k, S, SVP), tspan, y0);

完整代码如下：

function dydt = myode(t, y, k, S, SVP)
    V = y(1);
    RH = y(2);
    dVdt = k * (SVP - RH) * S;
    dRHdt = k / V * (SVP - RH) * S;
    dydt = [dVdt; dRHdt];
end

k = 0.1;
S = 1;
SVP = 100;
y0 = [200; 50];
tspan = [0 10];
[t, y] = ode45(@(t, y) myode(t, y, k, S, SVP), tspan, y0);

subplot(2, 1, 1);
plot(t, y(:, 1));
xlabel('Time');
ylabel('V');

subplot(2, 1, 2);
plot(t, y(:, 2));
xlabel('Time');
ylabel('RH');

运行后，会得到两张图，分别是 $V$ 和 $RH$ 随时间的变化图像。

已知$y(0)=0$和$y'(0)=0$,求解$y"=ky(1+y'^2)^(3/2)$

这是一个二阶非齐次微分方程，可以通过变量分离的方法进行求解。首先，将方程中的$y'$用$y$表示：

$$y''=ky(1+y'^2)^{3/2}=ky(1+y^2)^{3/2}$$

然后，令$v=y'$，则方程可以化为：

$$\frac{dv}{dx}=k\frac{y}{(1+v^2)^{3/2}}$$

对上式两边同时积分得：

$$\int{\frac{dv}{(1+v^2)^{3/2}}}=\int{kdx}\int{ydx}$$

将$v=\tan \theta$代入上式得：

$$\int{\frac{d\theta}{\cos^3{\theta}}}=\int{kdx}\int{ydx}$$

两边积分再带回$v$和$y$得：

$$\frac{v}{\sqrt{1+v^2}}=kx+c_1$$

$$y=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{v^2}{1+v^2}}-\frac{1}{k}+c_2$$

代入初始条件$y(0)=0$和$y'(0)=0$得：

$$c_1=0, c_2=\frac{1}{k}$$

因此，方程的解为：

$$\begin{cases}y=\frac{1}{k}\sqrt{\frac{y'^2}{1+y'^2}}-\frac{1}{k}\\ \hspace{0.5cm}\\y'=\pm \sqrt{\frac{2kx}{1-2kx}}\end{cases}$$