RS码的生成矩阵如何由生成多项式得到
时间: 2024-06-05 07:06:45 浏览: 11
生成矩阵是一个 $(n-k) \times n$ 的矩阵,其中 $n$ 是码字长度,$k$ 是信息位长度。生成矩阵的每一行都是一个码字的线性组合,这些码字可以通过生成多项式得到。
设生成多项式为 $g(x) = g_0 + g_1 x + \cdots + g_{n-k}x^{n-k}$,则生成矩阵的第 $i$ 行可以表示为 $g(x) x^{i-1}$,即:
$$
\begin{bmatrix}
g_{n-k} & g_{n-k-1} & \cdots & g_1 & g_0 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & g_{n-k} & \cdots & g_2 & g_1 & g_0 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & g_{n-k+1} & g_{n-k} & g_{n-k-1} & \cdots & g_1 \\
\end{bmatrix}
$$
其中,第 $i$ 行的前 $i-1$ 个元素为 $0$,后 $n-k-i+1$ 个元素也为 $0$。
例如,对于一个 $(7,4)$ RS 码,生成多项式为 $g(x) = x^3 + x + 1$,则生成矩阵为:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
其中,第 $i$ 行表示 $g(x) x^{i-1}$ 的系数。例如,第 $3$ 行表示 $x^2 (x^3 + x + 1) = x^5 + x^3 + x^2$,即生成矩阵的第 $3$ 行为 $(0,0,1,0,1,1,0)$。