给定一点，和向量，求该向量延长线与y轴的交点

假设给定的点为 $P(x_p, y_p)$，向量为 $\vec{v} = \langle v_x, v_y \rangle$。要求该向量延长线与 $y$ 轴的交点，可以按照以下步骤进行计算：

1. 计算向量的斜率 $k = \frac{v_y}{v_x}$。

2. 根据斜率和给定点的坐标，可以得到向量的点斜式方程：

$$y - y_p = k(x - x_p)$$

3. 令 $x = 0$，解出 $y$，即可得到向量延长线与 $y$ 轴的交点坐标 $(0, y_0)$：

$$y_0 = y_p - \frac{v_y}{v_x} x_p$$

因此，可以在 MATLAB 中编写以下代码实现该计算：

% 给定点的坐标
x_p = 1;
y_p = 2;

% 向量的坐标
v_x = 3;
v_y = 4;

% 计算斜率
k = v_y / v_x;

% 计算交点的纵坐标
y0 = y_p - k * x_p;

% 输出交点的坐标
fprintf('交点坐标为 (0, %f)\n', y0);

注意，如果向量的横坐标 $v_x$ 为 0，则无法计算斜率，此时需要特殊处理。例如，可以将向量旋转 $90^\circ$ 后再计算斜率，或者直接判断向量是否为 $y$ 轴方向的向量。

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两向量求有向夹角，向量有起始向量和终止向量

如果给定两个向量的起始点和终止点，可以通过将向量的终止点减去起始点，得到从原点开始的向量，然后再使用上面的公式计算有向夹角。

具体来说，设向量 A 的起始点为 P1，终止点为 P2，向量 B 的起始点为 Q1，终止点为 Q2，则向量 A 和向量 B 可以分别表示为：

A = P2 - P1
B = Q2 - Q1

然后，使用上述公式计算 A 和 B 的有向夹角：

θ = atan2(‖A × B‖, A · B)

其中，A × B 表示向量 A 和向量 B 的叉积，A · B 表示向量 A 和向量 B 的点积。‖A × B‖表示叉积的模长，即：

‖A × B‖ = ‖A‖ ‖B‖ sinθ

其中，θ 表示向量 A 和向量 B 之间的夹角。最终计算出的有向夹角 θ 的范围也是 [-π, π]。可以通过将计算出来的弧度值转换为角度来得到有向夹角的度数值。

已知两个坐标点和矩形边框，求两点延长线和矩形相交点

求出两点延长线与矩形边缘的交点，可以按以下步骤进行：

1. 计算两点之间的直线方程 y = kx + b，其中 k = (y2 - y1) / (x2 - x1)，b = y1 - k * x1。

2. 计算两点延长线与矩形上下左右四条边的交点，分别计算上下左右四条边的方程。矩形的四条边的方程可以用一般式表示，如下所示：

- 上边：y = top
- 下边：y = bottom
- 左边：x = left
- 右边：x = right

3. 判断交点是否在矩形内部，如果在则为相交点，否则为无效点。

4. 如果有多个相交点，则选择距离给定两点最近的相交点。

下面是一个示例代码，假设已知两个点为 (x1, y1) 和 (x2, y2)，矩形的左上角坐标为 (left, top)，右下角坐标为 (right, bottom)：

public class MainActivity extends AppCompatActivity {

    @Override
    protected void onCreate(Bundle savedInstanceState) {
        super.onCreate(savedInstanceState);
        setContentView(R.layout.activity_main);

        // 已知两点和矩形边框
        int x1 = 100;
        int y1 = 200;
        int x2 = 300;
        int y2 = 400;
        int left = 150;
        int top = 250;
        int right = 350;
        int bottom = 450;

        // 计算两点之间的直线方程
        float k = (float) (y2 - y1) / (x2 - x1);
        float b = y1 - k * x1;

        // 计算两点延长线与矩形上下左右四条边的交点
        float[] points = new float[8];
        points[0] = (top - b) / k;  // 上边交点的 x 坐标
        points[1] = top;            // 上边交点的 y 坐标
        points[2] = (bottom - b) / k;  // 下边交点的 x 坐标
        points[3] = bottom;         // 下边交点的 y 坐标
        points[4] = left;           // 左边交点的 x 坐标
        points[5] = k * left + b;   // 左边交点的 y 坐标
        points[6] = right;          // 右边交点的 x 坐标
        points[7] = k * right + b;  // 右边交点的 y 坐标

        // 判断交点是否在矩形内部
        List<Float> intersectPoints = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < points.length; i += 2) {
            float x = points[i];
            float y = points[i + 1];
            if (x >= left && x <= right && y >= top && y <= bottom) {
                intersectPoints.add(x);
                intersectPoints.add(y);
            }
        }

        // 选择距离最近的交点
        float minDistance = Float.MAX_VALUE;
        float intersectX = 0;
        float intersectY = 0;
        for (int i = 0; i < intersectPoints.size(); i += 2) {
            float x = intersectPoints.get(i);
            float y = intersectPoints.get(i + 1);
            float distance = (x - x1) * (x - x1) + (y - y1) * (y - y1);
            if (distance < minDistance) {
                minDistance = distance;
                intersectX = x;
                intersectY = y;
            }
        }

        // 输出结果
        Log.d("MainActivity", "相交点坐标：(" + intersectX + ", " + intersectY + ")");
    }
}

在这个示例代码中，我们首先计算了两点之间的直线方程，然后计算了两点延长线与矩形上下左右四条边的交点。接着，我们判断交点是否在矩形内部，并将符合条件的交点存入一个列表中。最后，从列表中选择距离最近的点作为相交点，并输出结果。