平面向量a ⃗与b ⃗的夹角为〖45〗^∘，a ⃗=(1,1)，|b ⃗|=2，则|(3a)┴→+b┴→ |等于（ ）

### 回答1：
首先，由于$a$与$b$的夹角为$45^\circ$，所以$a$在$b$的投影长度等于$b$在$a$的投影长度。

设$b$在$a$上的投影为$x$，则$a$在$b$上的投影也为$x$，且有$x^2+(2-x)^2=2^2$，解得$x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。

将$b$分解为其在$a$上的投影$b_\parallel$和与$a$垂直的部分$b_\perp$，则$b_\parallel=x\cdot\left(\dfrac{a}{|a|}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right)$，$b_\perp=\sqrt{|b|^2-|b_\parallel|^2}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$。

因此，$3a$与$b$的垂直分量分别为$3\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\dfrac{1}{\sqrt{2}},\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})$和$3\times\dfrac{\sqrt{6}}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}},-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\left(\dfrac{3\sqrt{6}}{4},-\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\right)$，故它们的长度之积为$|(-\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2})|\cdot|\left(\dfrac{3\sqrt{6}}{4},-\dfrac{3\sqrt{6}}{4}\right)|=\dfrac{27}{8}$。因此，$|(3a)^\perp\cdot b^\perp|=|(3a)\cdot b_\perp|=|3\cdot a\cdot b_\perp|=3\cdot\dfrac{\sqrt{6}}{2}= \dfrac{3\sqrt{6}}{2}$。

答案为$\dfrac{3\sqrt{6}}{2}$。

### 回答2：
由题意可知，平面向量a ⃗与b ⃗的夹角为〖45〗^∘，即a ⃗与b ⃗的夹角等于直角的一半。由向量的点乘公式可知，a⃗ ⋅ b⃗ =|a⃗|×|b⃗ |×cosθ，其中θ为a⃗ 与 b⃗ 的夹角。

代入已知条件：a⃗ =(1,1)，|b⃗ |=2，θ=45°，可求得
a⃗ ⋅ b⃗ = |a⃗ | × |b⃗ | × cosθ = 1×2×cos 45° = 2×cos 45° = √2。

又因为(3a) ⊥ b，即向量3a⃗ 与向量b⃗ 垂直。由向量的垂直关系可知，若向量u⃗ 与向量v⃗ 垂直，那么u⃗ ⋅ v⃗ =0。

则(3a⃗ ) ⊥ b⃗ 相当于(3a⃗ ) ⋅ b⃗ = 0。

将(3a⃗ ) ⋅ b⃗ = 0代入可得
(3a⃗ ) ⋅ b⃗ = 0
3(a⃗ ⋅ b⃗ ) = 0
3×√2=0
√2=0/3
根据上述运算，可知√2=0。

所以，|(3a)┴→b┴→|=|(3a⃗ )⋅ b⃗ |=|0|=0。

### 回答3：
首先，我们知道夹角为45°的两个向量a⃗和b⃗满足以下关系式：
cos45° = (a⃗·b⃗) /( |a⃗|·|b⃗| ) ，其中·表示向量的点乘。
由于a⃗=(1,1)和|b⃗|=2，可以得到：
cos45° = (1+1)/(√2·2) = 2/(2√2) = 1/√2
通过解方程1/√2 = (3a)⊥⃗b⊥⃗ / ( |3a⃗⊥⃗| · |b⃗⊥⃗| )，我们可以求解| (3a)⊥⃗b⊥⃗ |。
这里，(3a)⊥⃗ 和 b⊥⃗ 表示a⃗和b⃗在它们的夹角为45°的垂直方向上的分量。
由于向量a⃗=(1,1)，可以推导出(3a)⊥⃗ = (3,3)。
那么我们可以得到1/√2 = (3,3)·b⊥⃗ / (| (3,3) | · |b⃗⊥⃗| )。
由于b⃗ =(x,y)，可以将该方程化简为：
1/√2 = 6x / (6√2y) = x/y
通过解这个方程，我们可以得到x=y=1/2。
因此，| (3a)⊥⃗b⊥⃗ | = (3,3)·b⊥⃗ = (3,3)·(x,y) = (3,3)·(1/2,1/2) = (3/2,3/2)·(1/2,1/2) = 3/2。
所以，|(3a)⊥⃗b⊥⃗| = 3/2。