举例展示频域抽样时对应的时域信号波形与频域抽样定理

频域抽样是指将连续时间信号在频域中进行采样，得到一个离散的频域信号。为了展示频域抽样时对应的时域信号波形与频域抽样定理，我们可以从以下几个方面进行讨论。

1. 频域抽样定理

频域抽样定理又称为采样定理，它规定：如果一个连续时间信号的最高频率为$B$，则它的采样频率$F_s$必须大于等于$2B$，采样周期$T_s$必须小于等于$\frac{1}{2B}$。这就是著名的奈奎斯特采样定理。

2. 频域抽样的过程

频域抽样的过程可以用以下公式表示：

$$X_{fs}(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(f-nF_s)$$

其中，$X(f)$为连续时间信号的频域表示，$X_{fs}(f)$为离散时间信号的频域表示，$F_s$为采样频率，$T_s$为采样周期。

3. 时域信号波形

根据频域抽样的定义和公式，我们可以得到时域信号波形：

$$x_{fs}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t-nT_s)$$

其中，$x(t)$为连续时间信号的时域表示，$x_{fs}(t)$为离散时间信号的时域表示，$T_s$为采样周期。

4. 例子展示

假设我们有一个正弦信号：

$$x(t)=\sin(2\pi1000t)$$

它的最高频率为$1000$Hz。根据奈奎斯特采样定理，我们需要采样频率大于等于$2\times1000$Hz，即$F_s\geq2000$Hz。在这里，我们取采样频率为$F_s=5000$Hz，采样周期为$T_s=\frac{1}{5000}$秒。

将正弦信号进行频域抽样，得到离散时间信号的频域表示：

$$X_{fs}(f)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}X(f-nF_s)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\delta(f-nF_s-1000)$$

其中，$\delta$为单位冲激函数。

然后，我们根据公式将离散时间信号的频域表示转换为时域信号波形：

$$x_{fs}(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(t-nT_s)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\sin(2\pi1000(t-nT_s))$$

最终，我们可以得到频域抽样时对应的时域信号波形，如下图所示：