迫零均衡算法在OFDM中的数学推论

迫零均衡算法（Zero Forcing, ZF）是OFDM系统中常用的信道均衡算法之一。其基本思想是通过求解线性方程组来消除信道的影响，从而实现信号的恢复和解调。其数学推导如下：

假设发送的OFDM符号为$x(n)$，接收到的OFDM符号为$y(n)$，其中$n$表示时域上的采样点。假设信道的传递函数为$h(n)$，则接收到的OFDM符号可以表示为：

$$y(n) = h(n) \sum_{k=0}^{N-1} x(k)e^{j2\pi nk/N} + w(n)$$

其中$N$为OFDM符号的长度，$w(n)$为加性高斯白噪声。为了消除信道的影响，我们需要求解线性方程组，将接收到的OFDM符号$y(n)$转化为发送的OFDM符号$x(n)$，即：

$$\sum_{k=0}^{N-1} h(n)e^{-j2\pi nk/N} x(k) = y(n)$$

将上式表示为矩阵形式：

$$\mathbf{H}\mathbf{x} = \mathbf{y}$$

其中$\mathbf{H}$为$N \times N$的矩阵，表示信道传递函数$h(n)$在频域上的矩阵。$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$分别为长度为$N$的向量，表示发送和接收到的OFDM符号。由于信道传递函数$h(n)$是已知的，因此可以通过求解线性方程组来得到发送的OFDM符号$\mathbf{x}$。

由于信道传递函数$h(n)$可能存在零点，导致矩阵$\mathbf{H}$不可逆，因此需要引入正则化参数$\epsilon$，将矩阵$\mathbf{H}$对角线上的元素加上正则化参数，使得矩阵$\mathbf{H}$可逆。具体而言，矩阵$\mathbf{H}$的对角线上的元素表示信道传递函数在频域上的幅度，将其加上正则化参数$\epsilon$即可得到正则化的矩阵$\mathbf{H}$。

$$\mathbf{H}_{reg} = \mathbf{H} + \epsilon \mathbf{I}$$

其中$\mathbf{I}$为单位矩阵。通过求解线性方程组$\mathbf{H}_{reg}\mathbf{x} = \mathbf{y}$，即可得到发送的OFDM符号$\mathbf{x}$，从而实现信道均衡。