计算limx->0(sinsinx-tantanx)/x^3

可以使用L'Hospital法则来求解这个极限：

limx->0(sinsinx-tantanx)/x^3

= limx->0(cosx-cos^2x/sin^2x-sec^2x)/3x^2

= limx->0(cosx-sin^2x-cos^2x)/3x^2sin^2x

= limx->0(cosx-1)/3x^2sin^2x

再次使用L'Hospital法则：

= limx->0-sin(x)/6xsinx

= limx->0-1/6x

= -∞

因此，该极限不存在。

相关问题

pycham根据泰勒公式求limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))

### 回答1：
我可以回答这个问题。根据泰勒公式，sinx可以表示为x-x³/3!+x⁵/5!-...，cosx可以表示为1-x²/2!+x⁴/4!-...，将它们代入(sin x-xcos x)/sin³x中，得到limx→(x³/3!-x⁵/5!+x⁷/7!-...-1+x²/2!-x⁴/4!+...) / (x³(1-3!/5!x²+...))，化简后得到limx→(1/3!-x²/5!+...) / (1-3!/5!x²+...)，再次化简后得到1/3，因此limx→((sinx-xcosx)/sin³x)的极限值为1/3。

### 回答2：
首先，我们将limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))中的sinx-xcosx拆分成两部分，即sinx和-xcosx。

根据泰勒公式，我们可以将sinx和xcosx展开成它们的泰勒级数。

sinx的泰勒级数展开式为：sinx = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...

xcosx的泰勒级数展开式为：xcosx = x - x³/2! + x⁵/4! - x⁷/6! + ...

将以上两个级数代入limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))中，我们得到：

limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = limx→0((x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ... - (x - x³/2! + x⁵/4! - x⁷/6! + ...)/(x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...))) / sinm³x

根据极限的性质，我们可以将分子和分母的级数都展开到相同的阶数，即去掉高阶无穷小的项。

将以上步骤进行展开和简化后，我们得到：

limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = limx→0((1/3! - 1/2!)x² + (1/5! - 1/4!)x⁴ + (1/7! - 1/6!)x⁶ + ... ) / sinm³x

由于m是一个常数，我们可以将limx→0((1/3! - 1/2!)x² + (1/5! - 1/4!)x⁴ + (1/7! - 1/6!)x⁶ + ... ) 简化为一个常数c。

最终我们得到：

limx→0((sinx-xcosx/sinm³x)) = c / sinm³x

综上所述，根据泰勒公式，我们可以将limx→0((sinx-xcosx/sinm³x))化简为c / sinm³x的形式，其中c是一个常数。

### 回答3：
首先，我们来回顾一下泰勒公式。泰勒公式是用来近似表示函数在某个点附近的值的方法。对于一个可导的函数 f(x)，泰勒公式的一般形式为：

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + f'''(a)(x-a)³/3! + ...

其中 f'(a)、f''(a)、f'''(a) 分别表示函数 f(x) 在点 a 处的一阶、二阶和三阶导数。

接下来，我们根据泰勒公式求解题目中的极限。根据题目，我们需要计算的极限为：

lim(x→0) ((sinx - xcosx)/sin³x)

根据泰勒公式，我们可以近似将 sinx 和 cosx 展开为：

sinx ≈ x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - ...

cosx ≈ 1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - ...

代入极限式中，得到：

lim(x→0) ((x - (x³/3!) + (x⁵/5!) - x(1 - (x²/2!) + (x⁴/4!) - ...))/(x³ - 3!(x⁵/5!) + ...))

将该极限式进行化简，得到最终结果为：

lim(x→0) (1/3)

所以，根据泰勒公式，求解题目中的极限为 1/3。

limx趋于无限(1-1/x)的3x+ 5次方=e的a次方,那么a=

首先，根据指数函数的性质，我们有：$e^{\ln b}=b$，其中$b>0$。

因此，题目中的等式可以变形为：

$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5=e^a
$$

接下来，我们考虑对等式两边取自然对数：

$$
\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5\right]=\ln 5+\ln \lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}
$$

对于右边的极限，我们可以将其写成指数形式，即：

$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}=e^{\lim\limits_{x\to\infty}3x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)}
$$

注意到当$x$趋向无穷大时，$\frac{1}{x}$趋向于$0$，因此我们可以使用泰勒展开公式：

$$
\ln(1-x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\cdots
$$

将$x$替换成$\frac{1}{x}$，得到：

$$
\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)=-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\cdots
$$

因此，

$$
\begin{aligned}
\lim_{x\to\infty}3x\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)&=\lim_{x\to\infty}3x\cdot\left(-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}-\cdots\right)\\
&=-3-\lim_{x\to\infty}\frac{3}{2x}+\cdots\\
&=-3
\end{aligned}
$$

于是，

$$
\ln\left[\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5\right]=\ln 5+\ln e^{-3}=-3+\ln 5
$$

因此，

$$
\lim_{x\to\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{3x}\cdot 5=e^{-3+\ln 5}=5e^{-3}
$$

故$a=-3+\ln 5$。