证明格i max min 是分配格

为了证明格 $i\max\min$ 是分配格，我们需要证明它满足交换律、结合律、存在最大元和最小元以及对偶律。

首先证明交换律和结合律。对于任意三个元素 $x, y, z \in L$，有：

$$
\begin{aligned}
(x \max\min y) \max\min z &= (\max\{x, y\} \min\{x, y\}) \max\min z \\
&= (\max\{\max\{x, y\}, \min\{x, y\}, z\}) \min\{\max\{\max\{x, y\}, \min\{x, y\}, z\}\} \\
&= (x \max\min z) \max\min (y \max\min z)
\end{aligned}
$$

这证明了 $i\max\min$ 满足交换律和结合律。

接下来证明存在最大元和最小元。我们将 $L$ 中的任意两个元素 $x$ 和 $y$ 相比较，有以下四种情况：

- $x \leq y$，则 $x\max\min y = x$，$y\max\min x = y$；
- $y \leq x$，则 $x\max\min y = y$，$y\max\min x = x$；
- $x = y$，则 $x\max\min y = x = y$；
- $x$ 和 $y$ 不可比，即既不满足 $x \leq y$ 也不满足 $y \leq x$，则 $x\max\min y$ 和 $y\max\min x$ 均未定义。

因此，$L$ 中的最大元是 $\max L$，最小元是 $\min L$，它们分别满足：

$$
\begin{aligned}
x \max\min \max L &= \max L, \quad \forall x \in L \\
\min L \max\min x &= \min L, \quad \forall x \in L
\end{aligned}
$$

最后证明对偶律。设 $L^\mathrm{op}$ 是 $L$ 的对偶格，$x, y \in L$，则：

$$
\begin{aligned}
x \max\min y &= \max\{x, y\} \min\{x, y\} \\
&= \min\{x^\mathrm{op}, y^\mathrm{op}\} \max\{x^\mathrm{op}, y^\mathrm{op}\} \\
&= y^\mathrm{op} \max\min x^\mathrm{op}
\end{aligned}
$$

因此，$i\max\min$ 满足对偶律。综上所述，$i\max\min$ 是分配格。