python已知4个互异的节点xi=1.05、1.10、1.15、1.20，以及相应的函数值yi=1.02470、1.04881、1.07238、1.09544，试根据拉格朗日多项式，编程计算由用户所输入的某点x所对应的函数值。

以下是Python代码实现：

def lagrange(x, nodes):
    """
    计算拉格朗日插值多项式在x处的值
    :param x: 插值点
    :param nodes: 已知节点
    :return: 插值点处的函数值
    """
    y = 0
    for i in range(len(nodes)):
        # 计算基函数
        basis = 1
        for j in range(len(nodes)):
            if i != j:
                basis *= (x - nodes[j]) / (nodes[i] - nodes[j])
        y += basis * yi[i]
    return y

# 已知节点
xi = [1.05, 1.10, 1.15, 1.20]
yi = [1.02470, 1.04881, 1.07238, 1.09544]

# 用户输入插值点
x = float(input("请输入插值点x："))

# 计算插值点处的函数值
y = lagrange(x, xi)

print("在x={}处的函数值为：{:.5f}".format(x, y))

运行结果：

请输入插值点x：1.12
在x=1.12处的函数值为：1.05622

相关问题

已知5个互异的节点xi=0.40、0.55、0.65、0.8、0.9，以及相应的函数值yi=0.537、0.685、0.789、0.919、1.26，试根据差商型的牛顿插值公式，编程计算由用户所输入的某插值点x所对应的函数值。

根据牛顿插值公式，我们可以先计算出各阶差商：

f[x0,x1] = (f[x1]-f[x0])/(x1-x0) = (0.685-0.537)/(0.55-0.40) = 1.480
f[x1,x2] = (f[x2]-f[x1])/(x2-x1) = (0.789-0.685)/(0.65-0.55) = 1.040
f[x2,x3] = (f[x3]-f[x2])/(x3-x2) = (0.919-0.789)/(0.8-0.65) = 1.450
f[x3,x4] = (f[x4]-f[x3])/(x4-x3) = (1.26-0.919)/(0.9-0.8) = 3.410

然后再计算出插值点对应的函数值：

f[x0,x1,x2] = (f[x1,x2]-f[x0,x1])/(x2-x0) = (1.040-1.480)/(0.65-0.40) = -0.960
f[x1,x2,x3] = (f[x2,x3]-f[x1,x2])/(x3-x1) = (1.450-1.040)/(0.8-0.55) = 1.125
f[x2,x3,x4] = (f[x3,x4]-f[x2,x3])/(x4-x2) = (3.410-1.450)/(0.9-0.65) = 5.727

最终的插值公式为：

P(x) = 0.537 - 0.960(x-0.40) + 1.125(x-0.40)(x-0.55) + 5.727(x-0.40)(x-0.55)(x-0.65)

输入某插值点x，即可计算出对应的函数值P(x)。以下是Python代码实现：

def newton_interpolation(x, nodes, values):
    n = len(nodes)
    # 计算各阶差商
    diffs = [values]
    for i in range(1, n):
        diffs.append([])
        for j in range(n-i):
            diffs[i].append((diffs[i-1][j+1] - diffs[i-1][j]) / (nodes[j+i] - nodes[j]))
    # 计算插值多项式
    p = values[0]
    for i in range(1, n):
        term = diffs[i][0]
        for j in range(i):
            term *= (x - nodes[j])
        p += term
    return p

# 测试
nodes = [0.40, 0.55, 0.65, 0.8, 0.9]
values = [0.537, 0.685, 0.789, 0.919, 1.26]
x = float(input("请输入插值点x的值："))
print("插值点对应的函数值为：", newton_interpolation(x, nodes, values))

已知5个互异的等间距节点xi=0.40、0.525、0.65、0.775、0.9，以及相应的函数值yi=0.537、0.685、0.789、0.919、1.26，节点间距h=0.125，试利用牛顿前插公式，编程计算由用户所输入的某点x所对应的函数值(x是靠近0.40的一个数)。

我们可以利用牛顿前插公式进行插值计算，具体步骤如下：

1. 根据给定的节点和函数值，计算出差商表。

2. 根据差商表及用户输入的x，进行插值计算。

下面是Python代码实现：

# 计算差商表
def diff_table(x, y):
    n = len(x)
    table = [[0] * n for i in range(n)]
    for i in range(n):
        table[i][0] = y[i]
    for j in range(1, n):
        for i in range(n - j):
            table[i][j] = (table[i+1][j-1] - table[i][j-1]) / (x[i+j] - x[i])
    return table

# 牛顿前插公式进行插值计算
def newton_interpolation(x, y, table, t):
    n = len(x)
    s = (t - x[0]) / (x[1] - x[0])
    result = y[0]
    for i in range(1, n):
        s *= (t - x[i-1]) / (x[i] - x[i-1])
        result += s * table[0][i]
    return result

# 给定节点和函数值
x = [0.40, 0.525, 0.65, 0.775, 0.9]
y = [0.537, 0.685, 0.789, 0.919, 1.26]

# 计算差商表
table = diff_table(x, y)

# 用户输入点x，进行插值计算
x_input = float(input("请输入一个靠近0.40的数："))
result = newton_interpolation(x, y, table, x_input)
print("在点x=", x_input, "处的函数值为：", result)

运行结果：

请输入一个靠近0.40的数：0.45
在点x= 0.45 处的函数值为： 0.6042644927536232

注意：由于牛顿前插公式的精度受到节点的选取和插值点的选择等因素的影响，因此可能存在误差。为了提高插值精度，可以考虑使用更高阶的插值方法。