考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = (x − 1)2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点,

首先写出拉格朗日函数：

$L(x,y,\lambda,\mu)=f(x)-\lambda h(x)-\mu g(x)$

其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。

对 $L$ 求偏导数并令其等于 $0$，得到以下方程组：

$\begin{cases} 2(x-1)-\lambda-\mu=0 \\ 1-\lambda+\mu=0 \\ x+y-2\leq0 \\ \mu(x+y-2)=0 \\ y-x-1=0 \end{cases}$

根据 KKT 条件，$\mu\geq0$，$g(x)\leq0$，$\mu g(x)=0$，$h(x)=0$，代入上述方程组可得：

$\begin{cases} \mu=0 \\ \lambda=1 \\ x=y=1 \end{cases}$

因此，满足 KKT 条件的点为 $(1,1)$。

相关问题

考虑优化问题 考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = y − (x − 2)2 + 3 s.t. y ≥ 1 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点

首先，我们可以写出该问题的拉格朗日函数：

L(x,y,λ) = y - (x-2)^2 + 3 - λ(y-1)

其中，λ为拉格朗日乘子。

接下来，我们需要求解该问题的KKT条件：

1. Stationarity：

∂L/∂x = -2(x-2) = 0

∂L/∂y = 1 - λ = 0

2. Primal feasibility：

y - (x-2)^2 + 3 ≥ 0

y ≥ 1

3. Dual feasibility：

λ ≥ 0

4. Complementary slackness：

λ(y-1) = 0

根据第一和第二个KKT条件，我们可以得到：

x = 2

λ = 1

将x = 2和λ = 1代入Primal feasibility条件中，可以得到：

y ≥ 2

因此，满足KKT条件的点为(x,y) = (2,2)。

接下来，我们需要验证该点是否是局部极小值点。为此，我们需要计算函数f(x)在该点的二阶导数：

∂^2f/∂x^2 = -2

∂^2f/∂y^2 = 0

∂^2f/∂x∂y = 0

由于∂^2f/∂x^2 < 0，因此该点是一个局部极小值点。

综上所述，满足KKT条件的点为(x,y) = (2,2)，且该点是一个局部极小值点。

考虑优化问题 min (x,y)∈R 2 f(x) = (x − 1) 2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点, 并利用二阶条件验证上述点是否是局部极小值点.

首先列出拉格朗日函数：

$$
\mathcal{L}(x, y, \lambda_1, \lambda_2) = (x - 1)^2 + y - 2 + \lambda_1(y - x - 1) + \lambda_2(x + y - 2)
$$

然后根据 KKT 条件，我们有：

1. 原问题的可行性条件为：$h(x) = y - x - 1 = 0, g(x) = x + y - 2 \leq 0$。

2. 拉格朗日函数的一阶必要条件为：

$$
\begin{aligned}
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} &= 2(x - 1) + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} &= 1 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda_1} &= y - x - 1 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda_2} &= x + y - 2 \leq 0 \\
\lambda_2 &\geq 0 \\
\lambda_2(x + y - 2) &= 0
\end{aligned}
$$

3. KKT 条件为：

$$
\begin{aligned}
g(x) &= x + y - 2 \leq 0 \\
\lambda_2 &\geq 0 \\
\lambda_2(x + y - 2) &= 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} &= 2(x - 1) + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y} &= 1 + \lambda_1 + \lambda_2 = 0 \\
h(x) &= y - x - 1 = 0
\end{aligned}
$$

根据上述条件，我们可以得到：

$$
\begin{aligned}
\lambda_1 &= -3 \\
\lambda_2 &= 0 \\
x &= \frac{7}{3} \\
y &= \frac{4}{3}
\end{aligned}
$$

接下来，我们使用二阶条件来验证这个点是否为局部极小值点。首先，我们计算 Hessian 矩阵：

$$
\begin{bmatrix}
\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial x^2} & \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial x\partial y}\\
\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial y^2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 + \lambda_2 & 1 + \lambda_1 + \lambda_2 \\
1 + \lambda_1 + \lambda_2 & 1 + \lambda_2
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
$$

然后，我们计算 Hessian 矩阵在该点的值：

$$
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
\bigg\rvert_{(x, y) = (\frac{7}{3}, \frac{4}{3})}
=
\begin{bmatrix}
2 & -2 \\
-2 & 1
\end{bmatrix}
$$

由于该 Hessian 矩阵的所有特征值都是正的，因此该点是局部极小值点。

综上，$\big(\frac{7}{3}, \frac{4}{3}\big)$ 是原问题的局部极小值点，并且满足 KKT 条件。