考虑优化问题 min (x,y)∈R2 f(x) = (x − 1)2 + y − 2 s.t. h(x) = y − x − 1 = 0 g(x) = x + y − 2 ≤ 0. 计算满足 KKT 条件的点,

首先写出拉格朗日函数：

$L(x,y,\lambda,\mu)=f(x)-\lambda h(x)-\mu g(x)$

其中 $\lambda$ 和 $\mu$ 是拉格朗日乘子。

对 $L$ 求偏导数并令其等于 $0$，得到以下方程组：

$\begin{cases} 2(x-1)-\lambda-\mu=0 \\ 1-\lambda+\mu=0 \\ x+y-2\leq0 \\ \mu(x+y-2)=0 \\ y-x-1=0 \end{cases}$

根据 KKT 条件，$\mu\geq0$，$g(x)\leq0$，$\mu g(x)=0$，$h(x)=0$，代入上述方程组可得：

$\begin{cases} \mu=0 \\ \lambda=1 \\ x=y=1 \end{cases}$

因此，满足 KKT 条件的点为 $(1,1)$。