利用octave程序运行：利用连分数展开方法求出π 的分母在小于等于1000以内的所有既约分数近似值，并给出这些近似值中的最佳近似值。

好的，以下是 Octave 的程序实现：

function [best_approximation, approximations] = pi_approximations(max_denominator)
    a = floor(pi);
    p = a;
    q = 1;
    approximations = [a];

    for i = 1:max_denominator
        x = 1 / (pi - a);
        a = floor(x);
        p_prev = p;
        q_prev = q;
        p = a * p + p_prev;
        q = a * q + q_prev;
        approximation = p / q;
        if q > max_denominator
            break;
        end
        approximations = [approximations, approximation];
    end

    errors = abs(approximations - pi);
    [~, index] = min(errors);
    best_approximation = approximations(index);
end

这个函数接受一个整数参数 `max_denominator`，表示分母的最大值。它会使用连分数展开方法计算出 $\pi$ 的所有分母小于等于 `max_denominator` 的既约分数近似值，并返回这些近似值的数组 `approximations`，以及最佳近似值 `best_approximation`。

我们可以调用这个函数来解决这个问题。例如，如果我们想要找到分母小于等于 1000 的所有既约分数近似值，并找到最佳近似值，可以这样做：

[max_approximation, approximations] = pi_approximations(1000);
disp(approximations);
disp(max_approximation);

运行这段代码会输出所有的近似值和最佳近似值。