基于矩阵分解的协同过滤算法

矩阵分解是一种常见的协同过滤算法，也被称为矩阵补全或隐式反馈推荐算法。其核心思想是将用户和物品的评分矩阵分解成两个低维矩阵，然后通过这些矩阵的乘积来预测用户对未评分物品的评分。

具体来说，设评分矩阵为 $R \in R^{m \times n}$，其中 $m$ 表示用户数量，$n$ 表示物品数量。我们将此矩阵分解成两个低维矩阵 $U \in R^{m \times k}$ 和 $V \in R^{k \times n}$，其中 $k$ 表示潜在因素的数量。这个分解的目标是最小化预测评分与真实评分之间的均方误差，即：

$$
\min_{U,V} \sum_{(i,j)\in \Omega} (r_{ij} - u_i^T v_j)^2 + \lambda (\|U\|^2 + \|V\|^2)
$$

其中 $\Omega$ 表示已知评分的位置，$u_i$ 表示用户 $i$ 对应的向量，$v_j$ 表示物品 $j$ 对应的向量，$\lambda$ 是正则化参数。

矩阵分解算法的训练过程可以使用随机梯度下降等优化方法进行优化。在训练完成后，我们可以使用 $U$ 和 $V$ 来预测用户对未评分物品的评分，即 $r_{ij} \approx u_i^T v_j$。

矩阵分解算法的优点是可以将高维稀疏的评分矩阵映射到低维稠密的向量空间中，从而降低了推荐系统的计算复杂度和存储空间。同时，它也可以处理隐式反馈数据，如用户的点击和浏览记录，这些隐式反馈数据往往比显式评分数据更容易获取和大量积累。