不使用 MATLAB PID 模块实现 PID 控制 任务:给定传递函数G(s)，编写代码实现 PID 控制器，传递函数为G(S)= s^2+2s+1

在不使用MATLAB内置PID模块的情况下，我们可以手动设计PID控制器并编写控制算法。PID控制器由比例(P)、积分(I)和微分(D)三部分组成。对于给定的传递函数G(s) = s^2 + 2s + 1，首先我们需要计算其零点和极点。

传递函数G(s)是一个二次型的，它有两个实数根：
r1 = -1
r2 = -1

由于它们是相同的，所以这是一个纯二阶系统，无阻尼情况下的自然频率ωn = sqrt(b^2 - 4ac) = sqrt(2^2 - 4*1*1) = sqrt(0) = 0，这意味着系统是稳定的，并且不需要微分项D（因为它对二阶系统影响不大）。所以我们的控制器可以简化为P和I部分。

P部分是直接的比例增益Kp，I部分需要一个积分时间常数Ti来防止积分饱和。假设我们选择P值Kp和积分时间Ti，我们可以写出离散形式的PID控制器的更新规则：

u(t+1) = P * e(t) + I * ∑(e(t-nTi)) / Ti + D * (u(t) - u(t-1))

其中，e(t) 是误差信号（设定值减去反馈值），u(t) 是当前控制器输出，n是一个整数，表示采样周期内的积分累积步数。

下面是一个简单的Python示例，仅包含比例和积分部分：

import numpy as np

# 设定参数
Kp = 1  # 比例增益
Ti = 0.5  # 积分时间

# 初始化变量
error_sum = 0
last_error = 0
output = 0

def pid_controller(error, dt):
    global error_sum, last_error, output
    current_output = Kp * error + (error_sum * dt) / Ti
    error_sum += error * dt
    last_error = error
    return current_output

# 使用传递函数的仿真例子略...
# 在每个时间步，使用pid_controller函数计算下一个控制器输出
# 省略了实际的模拟和控制循环，因为这通常与具体的控制系统环境关联