设A和B是三阶矩阵,E是三阶单位矩阵,A的行列式=-3,且满足A的平方+AB+3E=o,则 A+B|=-9.正确吗
时间: 2024-04-02 09:37:48 浏览: 23
根据题意,有:
$$A^2 + AB + 3E = 0$$
两边同时左乘 $A^{-1}$,得到:
$$A + B + 3A^{-1} = 0$$
移项得到:
$$A + B = -3A^{-1}$$
两边同时取行列式,得到:
$$\begin{aligned} \det(A+B) &= \det(-3A^{-1}) \\ &= (-3)^3 \det(A)^{-1} \\ &= -27(-3)^{-1} \\ &= 9 \end{aligned}$$
因为 $\det(A)=-3$,所以 $\det(A^{-1})=-1/3$。
因此,结论“设 $A$ 和 $B$ 是三阶矩阵,$E$ 是三阶单位矩阵,$A$ 的行列式为 $-3$,且满足 $A^2 + AB + 3E = O$,则 $\det(A+B)=-9$”是不正确的,正确的结论应为 $\det(A+B)=9$。
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```
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