求$ \min_x (x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $的梯度

我们可以先对$x_1$和$x_2$分别求偏导数：
$$\frac{\partial}{\partial x_1}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2]=2(x_1-1)+8x_1(x_1^2-x_2)$$
$$\frac{\partial}{\partial x_2}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2]=-8(x_1^2-x_2)$$
因此，该函数的梯度向量为：$$\nabla f(x)=\begin{bmatrix}
\frac{\partial}{\partial x_1}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2] \\
\frac{\partial}{\partial x_2}[(x_1-1)^2+2(x_1^2-x_2)^2]
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
2(x_1-1)+8x_1(x_1^2-x_2) \\
-8(x_1^2-x_2)
\end{bmatrix}$$

相关问题

求$ \min_x (x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2 $的梯度

我们可以先对每个变量求偏导数，然后将它们组合成梯度向量。对于每个变量 $x_i$，我们有：

$$\frac{\partial}{\partial x_i}((x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2)$$

对于 $i=1$，我们有：

$$(\frac{\partial}{\partial x_1}(x_1-2)^2)+(\frac{\partial}{\partial x_1}(2(x_1^2-x_2)^2))$$

$$=2(x_1-2)+8x_1(x_1^2-x_2)$$

对于 $i=2$，我们有：

$$-4(x_1^2-x_2)$$

因此，梯度向量为：

$$\nabla f(x)=\begin{bmatrix} 2(x_1-2)+8x_1(x_1^2-x_2) \\ -4(x_1^2-x_2) \end{bmatrix}$$

其中，$f(x)=(x_1-2)^2+2(x_1^2-x_2)^2$