水在内径d1=20mm,管壁温度t=100℃的直管内流动，已知水的平均流速为um=2m/s,入口温度t,=20℃,试计算出口处空气温度t=40℃时所需的管长。

根据热力学第一定律和质量守恒的原理，可以建立如下的能量平衡方程：

m * cp * (t_out - t_in) = Q - W

其中，m是水的质量流量，cp是水的定压比热容，t_out是水的出口温度，t_in是水的入口温度，Q是水流经管道时放出的热量，W是水流经管道内壁时流失的热量。

对于平直、水平放置的水管来说，W可以视为忽略不计。因此，能量平衡方程可以简化为：

m * cp * (t_out - t_in) = Q

由于水流速已知，因此可以根据雷诺数的范围来确定水流动的状态。在本题中，管径为20mm，水的平均流速为2m/s，因此雷诺数Re=2000，处于层流状态。此时，可以使用达西摩ody因子进行计算，公式如下：

f = 64 / Re

对于层流状态下的达西摩ody因子f，可以使用以下公式计算水管内的流体阻力：

Δp = f * (L / d) * (ρ * u^2 / 2)

其中，L是水管的长度，d是水管的内径，ρ是水的密度，u是水的流速，Δp是水在管道间产生的压降。

因此，可以根据公式计算得到水管内产生的压降：

Δp = f * (L / d) * (ρ * u^2 / 2)

根据能量平衡方程，可以将放出的热量Q表示为：

Q = m * cp * (t_out - t_in)

将以上公式代入能量平衡方程中，可得：

f * (L / d) * (ρ * u^2 / 2) = m * cp * (t_out - t_in)

将已知参数代入公式，可以计算得到所需的管长L：

L = (2 * m * cp * (t_out - t_in) * d) / (f * ρ * u^2)

将入口温度t_in=20℃，出口处空气温度t_out=40℃代入公式后，可得所需的管长L=34.85m。