算法的渐近时间复杂度T(n)=Θ(n)+Θ(n 3 )+O(n 4 ),则T(n)是多少
时间: 2023-11-18 10:02:22 浏览: 37
根据大O符号的定义,如果T(n)的渐近时间复杂度为O(n^4),则T(n)的增长速度不会超过n的4次方,即T(n) = O(n^4)。因此,可以将T(n)的第二项Θ(n^3)和第三项O(n^4)都视为O(n^4)。因此,可以将T(n)简化为T(n) = Θ(n) + O(n^4)。根据大O符号的定义,如果存在正常数C和n0,使得对于n >= n0,T(n) <= Cn^4,则T(n) = O(n^4)。因此,T(n)的渐近时间复杂度为O(n^4)。
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分析递归求时间复杂度 T(n)=8T(n\2)+n3
对于这个递归式,可以使用主定理来求解。根据主定理,T(n) = aT(n/b) + f(n) 的时间复杂度为:
- 如果 f(n) = O(n^c),其中 c < log_b(a),则 T(n) = O(n^log_b(a))。
- 如果 f(n) = Θ(n^c),其中 c = log_b(a),则 T(n) = O(n^c log n)。
- 如果 f(n) = Ω(n^c),其中 c > log_b(a),且 a*f(n/b) <= k*f(n)(其中 k < 1),则 T(n) = O(f(n))。
对于 T(n) = 8T(n/2) + n^3,a = 8,b = 2,f(n) = n^3。因为 c = 3 > log_2(8) = 3,所以我们可以使用第三种情况的公式来求解。此时,a*f(n/b) = 8*(n/2)^3 = 2^3 * n^3 / 2^3 = n^3,k = 1/8 < 1,所以 T(n) = Θ(n^3)。
T(n)=T(n-1)+n∧2的时间复杂度
根据递归树法,可以画出递归树,对于一个节点,节点的值为非函数项,再将式中每一个函数项向下迭代,式中有n个函数项,递归树就是n叉树,且有n层,把每一行所有节点的和写在右边,如下图所示:
```
n^2
/ | \
(n-1)^2 (n-2)^2 ... 1^2
/ | \
(n-2)^2 ... 1^2
/ | \
...
```
可以看出,每一层的节点数都是上一层的1/3,所以总节点数为n^2+n^2/3+n^2/9+...=3n^2,因此时间复杂度为Θ(n^2)。