最大流在工作指派问题中的应用用pthon

工作指派问题可以使用网络流算法求解最大权匹配，具体步骤如下：

1. 构建一个源点和汇点，源点向所有工人连边，所有工作向汇点连边。

2. 对于每个工人和每个工作，连一条边，容量为1，表示该工人可以胜任该工作。

3. 对于每个工人之间和每个工作之间，连一条容量为正无穷的边，表示可以任意调配。

4. 运行最大流算法，得到最大权匹配。

下面是一个简单的 Python 实现：

from collections import defaultdict

class MaxFlow:
    def __init__(self, n):
        self.n = n
        self.adj = defaultdict(list)
        self.cap = defaultdict(int)
        self.flow = defaultdict(int)
        self.level = defaultdict(int)

    def add_edge(self, u, v, c):
        self.adj[u].append(v)
        self.adj[v].append(u)
        self.cap[(u, v)] += c

    def bfs(self, s, t):
        self.level.clear()
        q = [s]
        self.level[s] = 1
        while q:
            u = q.pop(0)
            for v in self.adj[u]:
                if self.cap[(u, v)] > self.flow[(u, v)] and not self.level[v]:
                    self.level[v] = self.level[u] + 1
                    q.append(v)
        return bool(self.level[t])

    def dfs(self, u, t, f):
        if u == t:
            return f
        for v in self.adj[u]:
            if self.cap[(u, v)] > self.flow[(u, v)] and self.level[v] == self.level[u] + 1:
                d = self.dfs(v, t, min(f, self.cap[(u, v)] - self.flow[(u, v)]))
                if d > 0:
                    self.flow[(u, v)] += d
                    self.flow[(v, u)] -= d
                    return d
        return 0

    def max_flow(self, s, t):
        res = 0
        while self.bfs(s, t):
            while True:
                f = self.dfs(s, t, float('inf'))
                if f == 0:
                    break
                res += f
        return res

def solve(n, m, a):
    s = 0
    t = n + m + 1
    mf = MaxFlow(t + 1)
    for i in range(1, n + 1):
        mf.add_edge(s, i, 1)
    for i in range(1, m + 1):
        mf.add_edge(i + n, t, 1)
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, m + 1):
            if a[i - 1][j - 1]:
                mf.add_edge(i, j + n, 1)
    return mf.max_flow(s, t)

n = 3
m = 3
a = [[1, 0, 1], [0, 1, 0], [1, 0, 1]]
print(solve(n, m, a))  # 输出 3

其中，`MaxFlow` 类实现了最大流算法，`solve` 函数接受一个二维矩阵 `a` 表示工人和工作之间的关系，返回最大匹配数。