python自定义函数求50阶方阵的范数

在Python中，可以使用NumPy库来计算矩阵的范数。具体来说，可以通过numpy.linalg.norm函数来计算矩阵的范数。下面是一个求解50阶方阵的范数的Python函数示例：

import numpy as np

def matrix_norm():
    # 生成50阶方阵
    A = np.random.rand(50, 50)
    # 计算2范数
    norm = np.linalg.norm(A, 2)
    return norm

# 调用函数并输出结果
print(matrix_norm())

在上面的函数中，首先使用numpy库中的random.rand函数生成一个50×50的随机矩阵A。然后，通过numpy.linalg.norm函数来计算矩阵A的2范数，并将结果返回。最后，调用函数并输出结果。

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迭代法求矩阵的逆可以使用Jacobi迭代法或Gauss-Seidel迭代法。

以Jacobi迭代法为例，假设A为一个n阶方阵，其逆矩阵B的初始估计为单位矩阵I，迭代公式为：

B_k+1 = B_k + (I-AB_k)/2

其中k为迭代次数。迭代过程中，每次计算B_k+1时，都需要使用上一次迭代得到的B_k。

代码实现如下：

import numpy as np

def Jacobi_iteration(A, max_iter=1000, tol=1e-6):
    n = A.shape[0]
    B = np.eye(n)  # 初始化逆矩阵B为单位矩阵
    for k in range(max_iter):
        B_next = B + 0.5 * (np.eye(n) - A @ B)
        if np.linalg.norm(B_next - B) < tol:
            return B_next
        B = B_next
    return B

其中np.linalg.norm()函数计算矩阵的二范数，用于判断逆矩阵的迭代是否达到收敛条件。

python最速下降法求线性方程组

### 使用Python实现最速下降法解决线性方程组

对于给定的线性方程组 \(Ax=b\)，其中\(A\)是一个矩阵而\(b\)是向量，可以将其转化为最小化二次型目标函数的形式：

\[f(x)=\frac{1}{2}x^{T}Ax-x^{T}b+c \]

这里的目标是最小化上述定义下的\(f(x)\)，从而间接求解线性方程组。为了应用最速下降算法，在每一步迭代过程中计算当前点处梯度，并沿负梯度方向移动一定步长以寻找更优解。

下面展示了一个简单的Python代码片段来说明这一过程[^4]：

import numpy as np

def steepest_descent(A, b, initial_guess=None, tol=1e-8, max_iter=1000):
    """
    实现最速下降法求解线性方程组 Ax = b
    
    参数:
        A (numpy.ndarray): 方阵.
        b (numpy.ndarray): 列向量.
        initial_guess (numpy.ndarray or None): 迭代初始猜测值，默认为None表示自动设置.
        tol (float): 收敛精度阈值.
        max_iter (int): 最大允许迭代次数.

    返回:
        tuple: 包含两个元素的结果元组，
              第一个是近似解数组,
              第二个是实际完成的迭代次数。
              
    注意事项:
      - 此方法适用于正定系数矩阵的情况；
      - 如果输入不是正定，则可能无法正常工作或发散。
    """

    n = len(b)

    if initial_guess is None:
        x_k = np.zeros(n)
    else:
        x_k = initial_guess.copy()

    r_k = b - A @ x_k  # 计算残差r_k=b-A*x_k
    p_k = r_k          # 初始化搜索方向p_k=r_k

    for k in range(max_iter):

        Apk = A @ p_k
        
        alpha_k = np.dot(r_k.T,r_k)/np.dot(p_k.T,Apk)  # 计算最佳步长alpha_k=(r_k^Tr_k)/(p_k^TA*p_k)

        x_next = x_k + alpha_k * p_k                   # 更新位置x_{k+1}=x_k+alpha_k*p_k

        r_next = r_k - alpha_k*Apk                     # 更新残差r_{k+1}

        error_norm = np.linalg.norm(r_next,np.inf)     # 检查误差范数||r_{k+1}||_inf

        if error_norm < tol:
            break                                     # 达到所需精度则停止循环
            
        x_k = x_next                                  # 准备下一轮迭代
        r_k = r_next                                  
        
    return x_k,k                                      # 输出最终结果以及迭代轮次


# 测试例子
if __name__ == "__main__":
    
    A_test=np.array([[4.,3.],[6.,7.]])
    b_test=np.array([1.,9.])

    solution,iters=steepest_descent(A=A_test,b=b_test,max_iter=50,tol=1E-6)

    print("Solution:",solution,"Iterations needed:",iters)

此程序实现了基于最速下降策略的线性方程组求解器。需要注意的是，这种方法仅适合处理具有正定性质的系数矩阵；如果遇到其他类型的矩阵结构，可能会导致性能不佳甚至不收敛的问题。此外，还可以调整参数`tol`和`max_iter`来自定义所需的精确程度和最大尝试次数。