应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中有向曲线x^2+y^2=25

根据格林公式，曲线积分可以转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 x^2+y^2=25 围成的区域。则有：

∫∫D(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∫D(y^2 + 2x) dxdy

接下来，我们需要确定积分区域 D 的边界曲线。根据题目中给出的有向曲线，可以看出积分区域 D 是一个圆，且按照逆时针方向给定。因此，可以使用极坐标表示，即：

x = r cosθ
y = r sinθ

其中，r 的取值范围为 0 ~ 5，θ 的取值范围为 0 ~ 2π。根据边界曲线的方程，可以得到边界曲线为：

x^2 + y^2 = 25
θ 的取值范围为 0 ~ 2π

接下来，我们可以将积分区域 D 分成两部分，分别对应于圆的上半部分和下半部分。对于上半部分，θ 的取值范围为 0 ~ π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫0^π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = 5π/2

对于下半部分，θ 的取值范围为 π ~ 2π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫π^2π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = -5π/2

因此，整个曲线积分的值为 0。

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应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中x^2+y^2=25

根据格林公式，曲线积分可以转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 x^2+y^2=25 围成的区域。则有：

∫∫D(∂Q/∂x - ∂P/∂y) dxdy = ∫∫D(y^2 + 2x) dxdy

接下来，我们需要确定积分区域 D 的边界曲线。由于积分区域是一个圆，因此可以使用极坐标表示，即：

x = r cosθ
y = r sinθ

其中，r 的取值范围为 0 ~ 5，θ 的取值范围为 0 ~ 2π。根据边界曲线的方程，可以得到边界曲线分别为：

x^2 + y^2 = 25
r = 5

接下来，我们需要将积分区域 D 分成两部分，分别对应于圆的上半部分和下半部分。对于上半部分，θ 的取值范围为 0 ~ π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫0^π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = 5π/2

对于下半部分，θ 的取值范围为 π ~ 2π，对应的双重积分为：

∫∫D(y^2 + 2x) dxdy = ∫π^2π ∫0^5 (r^3 sin^2θ + 2r^2 cosθ) dr dθ = -5π/2

因此，整个曲线积分的值为 0。

应用格林公式计算曲线积分 ∫yx^2dx-x^2dy, 其中L为下-|||-L-|||-图所示的有向曲线.-|||-y-|||-(0,5)-|||-x^2+y^2=25

首先，我们需要确定曲线 L 的参数方程。观察图形可得，L 由两段曲线组成，分别为 x = -5 ~ x = 0 和 x = 0 ~ y = 5。对于第一段曲线，可以将其表示为 x = -t，y = t，其中 t 的取值范围为 0 ~ 5。对于第二段曲线，可以将其表示为 x = r cosθ，y = r sinθ，其中 r 的取值范围为 5 ~ 0，θ 的取值范围为 π/2 ~ 0。因此，整个曲线 L 的参数方程可以表示为：

x =
\begin{cases}
-t, & 0 \leq t \leq 5 \\
r \cos \theta, & 0 \leq r \leq 5, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0
\end{cases}

y =
\begin{cases}
t, & 0 \leq t \leq 5 \\
r \sin \theta, & 0 \leq r \leq 5, \frac{\pi}{2} \leq \theta \leq 0
\end{cases}

接下来，我们需要计算曲线积分。根据格林公式，可以将曲线积分转化为对应区域的双重积分。设 D 为曲线 L 围成的区域，由于此题中曲线 L 是分段的，因此 D 也是分成两部分。对于第一部分，可以将其表示为 y = x + 5 和 y = -x + 5 围成的区域，对应的双重积分为：

\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \int_0^5 \int_{-t}^0 (-2x) dx dt = -\frac{125}{3}

对于第二部分，可以将其表示为圆心为原点，半径为 5 的圆弧所围成的区域，对应的双重积分为：

\iint_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}) dxdy = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 \int_0^5 (-2r \cos^2\theta - 2r^2) dr d\theta = -\frac{125}{3}

因此，整个曲线积分的值为 -250/3。