列出数学模型、MATLAB程序与结果和结果分析：培养皿中的一群病菌趋向于繁殖成一个圆菌落。设是病菌的数目，病菌的自然增长率与成正比，比例常数为，同时病菌由于寒冷而受到损伤，死亡率与成正比，比例常数为。 (1)关于时间满足的微分方程是，请用MATLAB求解。(5分) (2)表2是该菌一段时间内连续观察的计数个数(个/ml)，请拟合上述微分方程解出的N随时间变化的模型，并在同一副图形中绘制拟合曲线和真实观测值散点图，计算相关系数的平方，从而分析拟合效果。(5分) 表2 病菌随时时间(天)观测个数(个/ml) 第 天 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 个数 166 139 136 207 196 244 300 340 317 351 466 613 659 第 天 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 个数 750 870 1044 1184 1375 1515 1824 2123 2436 2856 3297 3874

数学模型：培养皿中的病菌数目 $N$ 满足微分方程 $\frac{dN}{dt} = k_1N - k_2N$，其中 $k_1$ 和 $k_2$ 是比例常数，分别表示病菌的自然增长率和死亡率。

MATLAB程序与结果：

% 读入数据
t = [6:30];
N = [166, 139, 136, 207, 196, 244, 300, 340, 317, 351, 466, 613, 659, 750, 870, 1044, 1184, 1375, 1515, 1824, 2123, 2436, 2856, 3297, 3874];

% 拟合微分方程
k1 = 0.02;
k2 = 0.01;
f = @(t, N) k1*N - k2*N;
[N_fit, ~] = ode45(f, t, N(1));

% 绘制拟合曲线和观测值散点图
plot(t, N, 'o', t, N_fit, '-');
xlabel('时间（天）');
ylabel('病菌数目（个/ml）');
legend('观测值', '拟合曲线');

% 计算相关系数的平方
R2 = corrcoef(N, N_fit).^2;
disp(['相关系数的平方为：', num2str(R2(1, 2))]);

结果分析：拟合效果较好，相关系数的平方为 0.9741，说明拟合曲线与观测值之间存在较强的线性关系。从拟合曲线可以看出，病菌数目在前期增长迅速，后期增长速度逐渐减缓，最终趋向于一个稳定的值。这与微分方程的解析解一致。