c++编写五节点四面体程序 单元刚度矩阵集成 求结点位移应力应变

五节点四面体元的刚度矩阵可以使用有限元分析中的经典方法来求解。假设我们已经给定了节点的坐标和杨氏模量以及泊松比等材料参数，则可以按照以下步骤进行计算：

1. 计算单元刚度矩阵

单元刚度矩阵可以使用有限元方法中的积分技巧来求解。假设我们要计算第 $i$ 个单元的刚度矩阵 $K^{(i)}$，则可以将其表示为：

$$
K^{(i)} = \int_{\Omega_e^{(i)}} B^{(i)T} C^{(i)} B^{(i)} d\Omega
$$

其中，$\Omega_e^{(i)}$ 表示第 $i$ 个单元的体积；$B^{(i)}$ 是单元形函数关于节点位移的梯度矩阵，其可以表示为：

$$
B^{(i)} = \begin{bmatrix}
\frac{\partial N_1^{(i)}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac{\partial N_2^{(i)}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac{\partial N_3^{(i)}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac{\partial N_4^{(i)}}{\partial x} & 0 & 0 & \frac{\partial N_5^{(i)}}{\partial x} & 0 & 0 \\
0 & \frac{\partial N_1^{(i)}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac{\partial N_2^{(i)}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac{\partial N_3^{(i)}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac{\partial N_4^{(i)}}{\partial y} & 0 & 0 & \frac{\partial N_5^{(i)}}{\partial y} & 0 \\
0 & 0 & \frac{\partial N_1^{(i)}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac{\partial N_2^{(i)}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac{\partial N_3^{(i)}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac{\partial N_4^{(i)}}{\partial z} & 0 & 0 & \frac{\partial N_5^{(i)}}{\partial z}
\end{bmatrix}
$$

其中，$N_j^{(i)}$ 表示第 $i$ 个单元中第 $j$ 个节点的形函数，$\frac{\partial N_j^{(i)}}{\partial x}$ 等表示其对应的偏导数。

$C^{(i)}$ 表示该单元材料的弹性张量，可以表示为：

$$
C^{(i)} = \frac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix}
1 & \nu & \nu & 0 & 0 & 0 \\
\nu & 1 & \nu & 0 & 0 & 0 \\
\nu & \nu & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1-\nu}{2}
\end{bmatrix}
$$

其中，$E$ 表示杨氏模量，$\nu$ 表示泊松比。

2. 组装总刚度矩阵

将所有单元的刚度矩阵组装成总刚度矩阵 $K$。假设我们有 $n$ 个节点和 $m$ 个单元，则总刚度矩阵的大小为 $3n \times 3n$。具体来说，对于每个单元 $i$，我们可以将其刚度矩阵 $K^{(i)}$ 的每个元素加到总刚度矩阵 $K$ 的对应位置上。例如，对于第 $i$ 个单元中第 $j$ 个节点和第 $k$ 个节点之间的位移关系，我们可以将 $K_{3j-2, 3k-2}$、$K_{3j-1, 3k-1}$、$K_{3j, 3k}$ 这三个元素加上 $K_{3j-2, 3k-2}^{(i)}$、$K_{3j-1, 3k-1}^{(i)}$、$K_{3j, 3k}^{(i)}$。

3. 加载边界条件

在计算结点位移时，需要考虑边界条件。通常情况下，我们会将某些节点固定在某个方向上，例如将节点 $i$ 在 $x$ 方向上固定，即 $u_{3i-2}=0$。这些条件可以通过在总刚度矩阵 $K$ 中直接将对应的行和列置为零，并将对应的对角线元素置为1来实现。

4. 求解结点位移

在考虑边界条件后，我们可以将总刚度矩阵 $K$ 和总载荷矩阵 $F$ 带入线性方程组 $Ku=F$ 中求解结点位移 $u$。

5. 计算结点应力和应变

在求解出结点位移后，我们可以利用单元形函数 $N_j^{(i)}$ 和其对应的梯度矩阵 $B^{(i)}$ 来计算每个单元中每个点的应力和应变。具体来说，对于每个单元 $i$，我们可以计算出其应变矩阵 $E^{(i)}$ 和应力矩阵 $S^{(i)}$，其中：

$$
E^{(i)} = B^{(i)} u^{(i)}
$$

$$
S^{(i)} = C^{(i)} E^{(i)}
$$

其中，$u^{(i)}$ 表示第 $i$ 个单元中的节点位移矩阵。最终，每个节点的应力和应变可以通过对其所在的单元的应力和应变取平均值来计算。