扩展欧几里德算法求模逆元

扩展欧几里德算法可以用来求解两个数的最大公约数，同时也可以用来求解模逆元。模逆元是指在模意义下，一个数的乘法逆元，即如果a与m互质，那么存在b, 使得a*b mod m = 1。

假设我们要求解a在模m意义下的乘法逆元，我们可以使用扩展欧几里德算法来解决这个问题。

首先，我们需要运用普通的欧几里德算法求出a和m的最大公约数d，同时记录下每一步的余数和商，直到余数为0为止。例如：

a = 42, m = 17

42 = 17 * 2 + 8
17 = 8 * 2 + 1
8 = 1 * 8 + 0

因此，最大公约数d为1。

接下来，我们需要利用逆向思维，从最后一步开始，倒推出b和c的值。因为在求解最大公约数的过程中，我们得到了以下等式：

1 = 17 - 8 * 2
8 = 42 - 17 * 2

将8代入上一式子中，得到：

1 = 17 - (42 - 17 * 2) * 2

化简后得到：

1 = 3 * 17 - 2 * 42

因此，我们得到了a在模m意义下的乘法逆元b为-2，但是这个结果是负数，所以我们需要将其转化为正数。根据模运算的性质，b = b mod m + m，因此：

b = -2 mod 17 + 17 = 15

因此，42在模17意义下的乘法逆元为15。

相关问题

用c语言实现扩展欧几里德算法求模逆元

扩展欧几里德算法求模逆元可以用来解决一类问题，即对于给定的整数a和模数m，求出一个整数x使得ax ≡ 1 (mod m)。下面是用C语言实现扩展欧几里德算法求模逆元的代码：

#include <stdio.h>

// 求最大公约数
int gcd(int a, int b, int *x, int *y)
{
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    int r = gcd(b, a % b, x, y);
    int t = *x;
    *x = *y;
    *y = t - a / b * *y;
    return r;
}

// 求模逆元
int mod_inv(int a, int m)
{
    int x, y;
    int g = gcd(a, m, &x, &y);
    if (g != 1) {
        printf("No solution!\n");
        return -1;
    } else {
        return (x % m + m) % m;
    }
}

// 测试
int main()
{
    int a = 5, m = 7;
    int inv = mod_inv(a, m);
    if (inv >= 0) {
        printf("%d 的模 %d 逆元是 %d\n", a, m, inv);
    }
    return 0;
}

在上面的代码中，我们首先定义了一个函数`gcd`，用来求解最大公约数。这个函数的输入参数包括两个整数a和b，以及两个指向整数的指针x和y。函数返回值是a和b的最大公约数。在函数中，我们采用了递归的方式来求解最大公约数，并利用指针x和y保存了扩展欧几里德算法中每次迭代后的结果。

接下来，我们定义了一个函数`mod_inv`，用来求解模逆元。这个函数的输入参数包括两个整数a和m，表示要求解的模逆元是a关于模数m的逆元。函数返回值是a关于模数m的逆元，如果不存在，则返回-1。在函数中，我们首先调用了函数`gcd`来求解a和m的最大公约数，并利用指针x和y保存了扩展欧几里德算法中每次迭代后的结果。如果a和m的最大公约数不为1，则说明不存在模逆元，函数返回-1。否则，我们利用扩展欧几里德算法的结果来计算模逆元，并返回结果。

最后，在主函数中，我们定义了两个整数a和m，并调用函数`mod_inv`来求解a关于模数m的逆元。如果求解成功，则输出结果，否则输出错误信息。

C语言扩展欧几里德算法求模逆元

扩展欧几里德算法可以用来求解模线性方程，其中就包括求解模逆元的问题。假设我们需要求解 a 在模 m 意义下的逆元 x，即 ax ≡ 1 (mod m)，那么就可以使用扩展欧几里德算法来求解。

具体步骤如下：

1. 用欧几里得算法求出 a 和 m 的最大公约数 gcd(a, m)，如果 gcd(a, m) 不等于1，则 a 在模 m 意义下没有逆元。

2. 使用扩展欧几里德算法求出 ax + my = gcd(a, m) 的一组整数解 (x, y)。

3. 如果 gcd(a, m) 等于1，则 ax ≡ 1 (mod m) 的一个解就是 x，但是 x 可能为负数或者大于等于 m，因此需要对 x 做一些调整，使得 x 在 [0, m) 范围内。

以下是使用 C 语言实现的代码：

#include <stdio.h>

// 扩展欧几里德算法求解 ax + my = gcd(a, m) 的一组整数解 (x, y)
int exgcd(int a, int b, int *x, int *y) {
    if (b == 0) {
        *x = 1;
        *y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);
    *y -= a / b * (*x);
    return d;
}

// 求解模逆元 ax ≡ 1 (mod m)
int mod_inv(int a, int m) {
    int x, y;
    int d = exgcd(a, m, &x, &y);
    if (d != 1) {
        printf("%d 在模 %d 意义下没有逆元\n", a, m);
        return -1;
    }
    return (x % m + m) % m;
}

int main() {
    int a = 3, m = 11;
    int x = mod_inv(a, m);
    if (x != -1) {
        printf("%d 在模 %d 意义下的逆元是 %d\n", a, m, x);
    }
    return 0;
}

上面的代码中，exgcd 函数用于求解 ax + my = gcd(a, m) 的一组整数解 (x, y)。如果 gcd(a, m) 不等于1，则表示 a 在模 m 意义下没有逆元，此时 mod_inv 函数返回 -1。否则，mod_inv 函数返回 x 的值，表示 a 在模 m 意义下的逆元。注意，最后需要对 x 做一些调整，使得 x 在 [0, m) 范围内。