求1/(z^2-1)在z的绝对值>1时的洛朗级数展开

首先，我们需要将函数表示成一个形如$\frac{A}{z-1}+\frac{B}{z+1}$的形式，其中$A$和$B$是需要求解的系数。于是我们有：

$$\frac{1}{z^2-1}=\frac{1}{(z-1)(z+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}\right)$$

接下来，我们需要将每个分式$\frac{1}{z-a}$展开成洛朗级数。对于绝对值大于1的$z$，我们可以使用下面的公式：

$$\frac{1}{z-a}=-\frac{1}{a}\frac{1}{1-\frac{z}{a}}=-\frac{1}{a}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{z}{a}\right)^n$$

因此，我们有：

$$\frac{1}{z^2-1}=-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z-1}\right)^{n+1}-\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+1}\right)^{n+1}\right)$$

把每个级数展开并合并同类项：

$$\frac{1}{z^2-1}=-\frac{1}{2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-1)^n}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z+1)^n}\right)$$

这就是在$|z|>1$时的洛朗级数展开式。