理论力学 MATLAB 模拟

理论力学是研究物体运动的基本规律的学科，其中包括牛顿力学、拉格朗日力学和哈密顿力学等内容。MATLAB是一种强大的数学计算软件，可以用来模拟和解决理论力学问题。

以下是一些理论力学的 MATLAB 模拟例子：

1. 牛顿运动定律模拟

可以使用 MATLAB 中的 ode45 函数模拟牛顿运动定律。例如，可以模拟一个质点在重力场中的自由落体运动：

g = 9.8; % 重力加速度
f = @(t,y) [y(2); -g]; % 系统方程
[t, y] = ode45(f, [0, 10], [0, 0]); % 求解ODE
plot(t, y(:,1)); % 绘制质点高度随时间变化的图像

2. 拉格朗日力学模拟

可以使用 MATLAB 的符号计算工具箱求解拉格朗日方程，从而模拟拉格朗日力学系统的运动。例如，可以模拟一个单摆的运动：

syms theta(t) g L m
T = 1/2 * m * L^2 * diff(theta,t)^2; % 动能
V = m * g * L * (1 - cos(theta)); % 势能
Lagrangian = simplify(T - V); % 拉格朗日量
eq = diff(diff(Lagrangian, diff(theta,t)), t) - diff(Lagrangian, theta); % 拉格朗日方程
thetaSol = dsolve(eq, theta(0) == pi/3, diff(theta)(0) == 0); % 求解ODE
t = linspace(0, 10, 1000);
theta = double(subs(thetaSol, t));
plot(t, theta); % 绘制单摆摆角随时间变化的图像

3. 哈密顿力学模拟

可以使用 MATLAB 的符号计算工具箱求解哈密顿方程，从而模拟哈密顿力学系统的运动。例如，可以模拟一个简单的谐振子：

syms q p m w
H = 1/2 * p^2/m + 1/2 * m * w^2 * q^2; % 哈密顿量
dq = diff(H, p); % dq/dt
dp = -diff(H, q); % dp/dt
q0 = 0; p0 = 1/m; % 初始条件
t = linspace(0, 10, 1000);
q = q0 + double(subs(int(dq, t), p, p0));
p = p0 + double(subs(int(dp, t), q, q0));
plot(t, q); % 绘制谐振子位移随时间变化的图像