仿射变换中如何求逆元,并举例
时间: 2024-05-31 16:07:08 浏览: 12
在仿射变换中,逆元是指某个元素在仿射变换下的逆变换。具体来说,如果有一个仿射变换 $T$,其矩阵表示为 $\begin{bmatrix} A & \mathbf{b} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix}$,其中 $A$ 是一个 $d \times d$ 的矩阵,$\mathbf{b}$ 是一个 $d$ 维列向量,那么对于一个点 $\mathbf{p} = \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix}$,其逆变换可以表示为:
$$T^{-1}(\mathbf{p}) = \begin{bmatrix} A^{-1} & -A^{-1}\mathbf{b} \\ \mathbf{0} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A^{-1} \mathbf{x} - A^{-1} \mathbf{b} \\ 1 \end{bmatrix}$$
这里 $A^{-1}$ 表示 $A$ 的逆矩阵。
举例来说,假设有一个仿射变换 $T$,其矩阵表示为:
$$T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$
现在要求 $T$ 中元素 $2$ 的逆元。根据定义,$2$ 的逆元是指一个元素 $x$,使得 $2x \equiv 1 \pmod{3}$。这个方程的解可以通过扩展欧几里得算法求出。
具体来说,我们可以用扩展欧几里得算法求出 $2$ 和 $3$ 的最大公约数及其系数:
$$\gcd(2, 3) = 1 = 2 \times (-1) + 3 \times 1$$
因此,$2$ 的逆元是 $-1 \equiv 2 \pmod{3}$。所以 $T$ 中元素 $2$ 的逆元是 $2$。
同样地,对于一个仿射变换的矩阵中的其他元素,也可以类似地求出它们在模意义下的逆元。