X服从标准正态分布,θ=P(X>4.5),取V为指数分布Exp(1),令W=V+4.5,用W的样本进行重要抽样估计θ,取样本点个数N=1000,求估计值并估计误差大小,并给出R语言代码

根据重要抽样的原理，我们可以通过指数分布Exp(1)生成样本，然后对每个样本进行如下计算：

1. 计算 W = V + 4.5
2. 判断 W 是否大于 4.5，如果是，则记为 1，否则记为 0
3. 重复进行 N 次独立的抽样，得到样本大小为 N 的数据集

根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。因此，我们可以利用样本均值来估计θ的值。具体地，估计值为：

θ_hat = 1/N * sum(1{W_i > 4.5})

其中，1{W_i > 4.5} 表示指示函数，当 W_i > 4.5 时为 1，否则为 0。

估计误差可以通过计算标准误来得到：

se = sqrt(Var(1{W_i > 4.5}) / N)

其中，Var(1{W_i > 4.5}) 表示指示函数的方差，由于 1{W_i > 4.5} 只有取值为 0 或 1，因此其方差为：

Var(1{W_i > 4.5}) = θ * (1 - θ)

因此，最终的估计误差为：

error = 1.96 * se

其中，1.96 表示 95% 的置信水平下的标准正态分布的分位数。

以下为 R 语言代码实现：

# 生成指数分布样本
set.seed(123)
v <- rexp(1000)
w <- v + 4.5

# 计算估计值和估计误差
theta_hat <- mean(w > 4.5)
se <- sqrt(theta_hat * (1 - theta_hat) / 1000)
error <- 1.96 * se

# 输出结果
theta_hat
error