算法设计与分析五元取中值

五元取中值算法是一种用于在 $5$ 个数中找到中位数的算法。它的基本思想是将这 $5$ 个数分成 $3$ 组，每组分别包含 $1$ 个数、$2$ 个数和 $2$ 个数，并找到每组的中位数。然后再对这 $3$ 个中位数进行递归调用，直到找到最终的中位数。

具体实现过程如下：

1. 将 $5$ 个数分成 $3$ 组：$a_1$ 和 $a_2$ 为第一组，$a_3$ 和 $a_4$ 为第二组，$a_5$ 为第三组。

2. 对每组进行排序，找到每组的中位数：

- 第一组的中位数为 $m_1 = \text{median}(a_1, a_2)$；
- 第二组的中位数为 $m_2 = \text{median}(a_3, a_4)$；
- 第三组只有一个数，它就是中位数。

3. 将 $m_1$、$m_2$ 和 $a_5$ 组成一个新的 $5$ 元集合，对它们进行递归调用，直到得到最终的中位数。

该算法的时间复杂度为 $O(1)$，空间复杂度为 $O(1)$。它比直接排序的时间复杂度要低，但是比快速选择算法的时间复杂度要高。