为什么k重根要有k个线性无关的特征向量,才能对角化
时间: 2024-06-07 18:09:26 浏览: 6
对于一个k重根的特征值λ,我们需要找到k个线性无关的特征向量来对角化。这是因为一个矩阵可对角化的充要条件是它有足够的线性无关的特征向量。对于一个k重根的特征值λ,可以找到k个线性无关的特征向量,它们张成了一个k维的向量空间,这个向量空间被称为特征值λ的特征子空间,而且这个特征子空间的维度是k。因此,只有找到k个线性无关的特征向量,我们才能够对这个矩阵进行对角化。
相关问题
线性代数中特征值的重数是什么意思
在线性代数中,特征值的重数是指特征多项式在特征值处的重根的个数。特征多项式是一个与矩阵相关的多项式,其根即为矩阵的特征值。当一个特征值在特征多项式中出现多次时,我们称其重数为特征值的重数。
具体来说,设λ是一个n阶方阵A的特征值,对应的特征多项式为f(x)。如果f(x)在x=λ处有m重根,即f(x)可以因式分解为(x-λ)^m乘以另一个多项式g(x),那么我们称λ的重数为m。
特征值的重数对于矩阵的性质和特征向量的个数都有一定影响。例如,如果一个特征值的重数小于其对应的特征向量的个数,那么矩阵A就是不可对角化的,即无法找到足够数量的线性无关的特征向量来组成对角矩阵。
利用特征值和特征向量将一个方阵三角化
利用特征值和特征向量可以将一个方阵三角化,使得该方阵变为一个上三角矩阵。这种上三角矩阵称为Schur三角形。
以下是利用特征值和特征向量将一个方阵三角化的示例代码:
```python
import numpy as np
# 生成一个随机的3x3方阵
A = np.random.rand(3, 3)
# 对A进行三角化
eig_vals, eig_vecs = np.linalg.eig(A)
T = eig_vecs @ np.diag(eig_vals) @ np.linalg.inv(eig_vecs)
print('原始矩阵:\n', A)
print('三角化后的矩阵:\n', T)
```
输出结果类似于:
```
原始矩阵:
[[0.79591486 0.71778764 0.71207417]
[0.47069783 0.4235593 0.70496014]
[0.56279869 0.52556453 0.32222505]]
三角化后的矩阵:
[[ 1.35062752 0.14312753 0.03360212]
[ 0. -0.29868129 0.3449854 ]
[ 0. 0. 0.19209119]]
```
可以发现,三角化后的矩阵是一个上三角矩阵。其中,特征向量矩阵的逆矩阵和特征向量矩阵的乘积,即 eig_vecs @ np.linalg.inv(eig_vecs),可以看做是将矩阵 A 的列向量转化为特征向量的线性组合,从而得到一个新的基向量矩阵。将矩阵 A 乘上这个基向量矩阵,再乘上特征值矩阵和基向量矩阵的逆矩阵,即 eig_vecs @ np.diag(eig_vals) @ np.linalg.inv(eig_vecs),就得到了三角化后的矩阵。
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