Q_1' = -\frac{Q_1 R_2}{d-R_1-R_2} \quad \text{和} \quad Q_2' = -\frac{Q_2 R_1}{d-R_1-R_2}

这是一个电路问题，其中 $Q_1$ 和 $Q_2$ 是两个电荷，$R_1$ 和 $R_2$ 是两个电阻，$d$ 是两个电荷之间的距离。根据库仑定律，两个电荷之间的力与它们之间的距离成反比，因此，当它们离得越近时，它们之间的力就越大。

根据欧姆定律，电荷通过电阻时会产生电势差和电流。因此，当电荷通过电阻时，它们会受到电阻产生的力的影响，这个力与电流成正比。因此，当电流越大时，电阻对电荷的力就越大。

根据这些原理，可以推导出 $Q_1'$ 和 $Q_2'$ 的表达式。首先，根据欧姆定律，电流可以表示为 $I=\frac{Q}{R}$，其中 $I$ 是电流，$Q$ 是电荷量，$R$ 是电阻。因此，可以将 $Q_1'$ 和 $Q_2'$ 表示为：

$Q_1' = -I_1 R_2$

$Q_2' = -I_2 R_1$

其中，$I_1$ 和 $I_2$ 分别是通过 $R_1$ 和 $R_2$ 的电流。根据基尔霍夫电流定律，通过任意一个节点的电流之和等于零。因此，$I_1=I_2=I$，其中 $I$ 是整个电路中的电流。将它们代入上面的表达式中，得到：

$Q_1' = -\frac{Q_1 R_2}{R_1+R_2-d}$

$Q_2' = -\frac{Q_2 R_1}{R_1+R_2-d}$

这些表达式说明，当电荷之间的距离缩短时，它们通过电阻产生的电流会变大，因此它们受到的电阻力也会增加。这解释了为什么电荷之间的力与它们之间的距离成反比。

相关问题

n0∈N，f(x)=xn0，对任意x=xn∈lp，（1≤p≤∞），证明||f||=1

这道题目可以使用 Hölder 不等式来证明。根据 Hölder 不等式，对于任意 $1 \leq p \leq \infty$ 和 $q$，满足 $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$，都有：

$$
\left\|fg\right\|_{L^1} \leq \left\|f\right\|_{L^p} \left\|g\right\|_{L^q}
$$

其中 $f, g$ 是 $L^p$ 空间中的可测函数。对于本题中的 $f(x) = x^{n_0}$，我们可以令 $g(x) = 1$，则有：

$$
\begin{aligned}
\left\|f\right\|_{L^p} &= \left( \int_{\mathbb{R}} \left| x^{n_0} \right|^p dx \right)^{\frac{1}{p}} \\
&= \left( \int_{\mathbb{R}} |x|^{n_0 p} dx \right)^{\frac{1}{p}} \\
&\leq \left( \int_{\mathbb{R}} 1 dx \right)^{\frac{1}{q}} \\
&= 1
\end{aligned}
$$

其中 $1/p + 1/q = 1$，即 $q = \infty$。因此，我们得到 $||f||_{L^p} \leq 1$。

另一方面，根据题意，对于任意 $x = x_n \in l^p$，都有 $|f(x)| = |x_{n_0}|^{n_0} \leq \|x\|^n_p$。因此，我们有：

$$
\left\|f\right\|_{L^p}^p = \int_{\mathbb{R}} |x|^{n_0 p} dx \geq \int_{\mathbb{R}} |f(x)|^p dx = \sum_{n=1}^{\infty} |f(x_n)|^p \geq |f(x)|^p = |x_{n_0}|^{n_0 p}
$$

因此，我们得到 $||f||_{L^p}^p \geq \|x\|_p^{n_0 p}$，即 $||f||_{L^p} \geq \|x\|_p^{n_0}$。

综上所述，我们得到：

$$
\|f\|_{L^p} \leq 1 \quad \text{且} \quad \|f\|_{L^p} \geq \|x\|_p^{n_0}
$$

由于 $x \in l^p$ 是任意的，因此我们可以令 $x = e_{n_0}$，其中 $e_{n_0}$ 表示第 $n_0$ 个坐标为 $1$，其余坐标为 $0$ 的向量。此时 $\|x\|_p = 1$，因此我们得到：

$$
\|f\|_{L^p} \geq 1
$$

综合以上结论，我们得到 $||f||_{L^p} = 1$，即 $||f|| = 1$。

用C语言实现求Logit-Log3P算法参数的方法,列出算法求值公式

Logit-Log3P算法是一种用于拟合二项分布模型的参数估计方法，其主要目的是用于对物品的质量进行评估或排序。下面是用C语言实现求Logit-Log3P算法参数的方法，并列出算法求值公式：

算法公式：

$$
\begin{aligned}
&\text{Logit-Log3P:}\quad p_i=\frac{1}{1+e^{-\alpha(q_i-\beta)}}\\
&\text{对数似然函数：}\quad LL=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i\log p_i+(r_i-c_i)\log (1-p_i))\\
&\text{偏导数：}\quad \frac{\partial LL}{\partial \alpha}=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i-r_i+p_i\times r_i-p_i\times c_i)\times (q_i-\beta)\\
&\quad \qquad \quad \frac{\partial LL}{\partial \beta}=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i-r_i+p_i\times r_i-p_i\times c_i)\times \alpha\\
&\quad \qquad \quad \frac{\partial LL}{\partial \gamma}=\sum\limits_{i=1}^{n}(c_i-r_i+p_i\times r_i-p_i\times c_i)
\end{aligned}
$$

其中，$p_i$表示物品$i$被选中的概率，$c_i$表示选择物品$i$的次数，$r_i$表示未选择物品$i$的次数，$q_i$表示物品$i$的质量，$\alpha$、$\beta$、$\gamma$为需要估计的参数。

C语言代码实现：

#include <stdio.h>
#include <math.h>

#define MAXN 1000

double alpha, beta, gamma;
double p[MAXN], q[MAXN];
int c[MAXN], r[MAXN];
int n;

void calc_p() {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        p[i] = 1.0 / (1.0 + exp(-alpha * (q[i] - beta)));
    }
}

double calc_ll() {
    double ll = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        ll += c[i] * log(p[i]) + (r[i] - c[i]) * log(1.0 - p[i]);
    }
    return ll;
}

void calc_derivative(double *da, double *db, double *dg) {
    double dalpha = 0.0, dbeta = 0.0, dgamma = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double tmp = c[i] - r[i] + p[i] * r[i] - p[i] * c[i];
        dalpha += tmp * (q[i] - beta);
        dbeta += tmp * alpha;
        dgamma += tmp;
    }
    *da = dalpha;
    *db = dbeta;
    *dg = dgamma;
}

void logit_log3p() {
    double alpha0 = 1.0, beta0 = 1.0, gamma0 = 1.0;
    double eps = 1e-8, step = 0.01;
    int max_iter = 1000, iter = 0;
    double ll0 = calc_ll(), ll1 = 0.0;
    while (iter < max_iter) {
        iter++;
        alpha = alpha0 + step;
        calc_p();
        double ll = calc_ll();
        double da = 0.0, db = 0.0, dg = 0.0;
        calc_derivative(&da, &db, &dg);
        while (ll > ll0 && step > eps) {
            step /= 2.0;
            alpha = alpha0 + step;
            calc_p();
            ll = calc_ll();
            calc_derivative(&da, &db, &dg);
        }
        alpha = alpha0 - da / (n * step);
        beta = beta0 - db / (n * step);
        gamma = gamma0 - dg / (n * step);
        calc_p();
        ll1 = calc_ll();
        if (fabs(ll1 - ll0) < eps) break;
        ll0 = ll1;
        alpha0 = alpha;
        beta0 = beta;
        gamma0 = gamma;
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%lf%d%d", &q[i], &c[i], &r[i]);
    }
    logit_log3p();
    printf("%.6f %.6f %.6f", alpha, beta, gamma);
    return 0;
}

在实现中，我们首先定义了Logit-Log3P算法的公式，并用C语言实现了计算$p_i$、对数似然函数$LL$和偏导数的函数。然后，我们使用梯度下降法来优化参数$\alpha$、$\beta$、$\gamma$的值，对数似然函数的值越大，表示拟合的模型越好，所以我们通过不断调整参数，使得对数似然函数的值不断增加，最终得到最优的参数值。