出2个二元复合函数求导的填空题，给出答案

好的，以下是2个二元复合函数求导的填空题及其答案：

1. 设 $f(x,y)=\sin(x+y)$，$g(u,v)=u^2+v^2$，则 $\frac{\partial (f\circ g)}{\partial u}(1,-1)=$ \_\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{\partial (f\circ g)}{\partial u}(1,-1)=2\cos 0=2$。

2. 设 $f(x,y)=\ln(xy)$，$g(u,v)=\sin(uv)$，则 $\frac{\partial (f\circ g)}{\partial v}(0,\frac{\pi}{2})=$ \_\_\_\_\_\_\_。

答案：$\frac{\partial (f\circ g)}{\partial v}(0,\frac{\pi}{2})=\frac{\partial f}{\partial y}(g(0,\frac{\pi}{2}),\frac{\partial g}{\partial v}(0,\frac{\pi}{2}))=\frac{1}{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}$。

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出2个二元函数求极限的填空题，给出答案

好的，以下是2个二元函数求极限的填空题及其答案：

1. 求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}$。

答案：注意到 $\left| \frac{x^2y}{x^2+y^2} \right| \leq \frac{1}{2} (x^2+y^2)$，因此由夹逼定理可知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^2+y^2}=0$。

2. 求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x+y}$。

答案：首先由夹逼定理可知 $\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$，因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x+y}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}\cdot\frac{xy}{x+y}$。又因为 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}=1$，所以需要求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x+y}$。注意到 $\left| \frac{xy}{x+y} \right| \leq \frac{1}{2} (x+y)$，因此由夹逼定理可知 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x+y}=0$。综上所述，$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{x+y}=1\times0=0$。

Matlab的二元隐函数求导

假设有一个二元函数 $f(x,y)=0$，其中 $y$ 是 $x$ 的隐函数，即 $y=g(x)$，则可以使用隐函数求导法来求 $\frac{dy}{dx}$。

具体步骤如下：

1. 对 $f(x,y)=0$ 两边同时对 $x$ 求导，得到 $\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dx}=0$。

2. 将 $\frac{dy}{dx}$ 单独解出来，即 $\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$。

例如，对于方程 $x^2+y^2-1=0$，其中 $y$ 是 $x$ 的隐函数，则可以使用隐函数求导法求得 $\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$。

在 Matlab 中，可以使用 `diff` 函数来进行求导计算，同时需要注意使用 `sym` 函数声明符号变量。

例如，对于方程 $x^2+y^2-1=0$，可以如下计算 $\frac{dy}{dx}$：

syms x y
f = x^2 + y^2 - 1;
g = solve(f, y); % 求解 y(x)
diff(g, x) % 求解 dy/dx

输出结果为 `-x/y`。