求Markov链的极限分布实验题 ,为适应日益扩大的旅游事业的需要,某城市的A、B、C三个照相馆组成一个联营部,联合经营出租相机的业务,旅游者可由A、B、C三处任何一处租出相机,用完后还到A、B、C三处的任何一处即可。估计转移概率如表所示,今欲选择A、B、C之一附设租机维修点,问该点设在何处为好?(写出详细解题思路及程序设计过程与并根据计算结果确定实施方案,程序使用matlab。)
时间: 2024-02-03 17:02:23 浏览: 72
首先,将转移概率表示为转移矩阵形式:
$$
P=\begin{pmatrix}
0.4 & 0.3 & 0.3\\
0.2 & 0.5 & 0.3\\
0.3 & 0.3 & 0.4
\end{pmatrix}
$$
由于该马尔可夫链是有限状态的,因此其必然存在一个稳定分布 $\pi$,满足 $\pi P=\pi$。根据这个方程,我们可以求解出 $\pi$:
$$
\pi=\begin{pmatrix}
0.2857 & 0.3571 & 0.3571
\end{pmatrix}
$$
这个结果表示,当租机维修点设置在 A、B、C 三个照相馆中任意一个地方时,其稳定状态下租借相机的比例分别为 28.57%、35.71% 和 35.71%。
为了确定最佳的租机维修点位置,我们需要定义一个目标函数来衡量其优劣。一个比较自然的想法是,选择让稳定状态下租机维修点所在的照相馆租借相机的比例最大的位置,即:
$$
\max_{i\in\{A,B,C\}} \pi_i
$$
根据计算结果,我们发现当租机维修点设置在 B 照相馆时,稳定状态下租借相机的比例最高,为 35.71%。因此,我们可以建议将租机维修点设置在 B 照相馆。
下面是 MATLAB 代码实现:
```matlab
P = [0.4, 0.3, 0.3; 0.2, 0.5, 0.3; 0.3, 0.3, 0.4];
[V, D] = eig(P');
pi = V(:, 1) / sum(V(:, 1));
[max_pi, opt_loc] = max(pi);
fprintf('稳定状态下租借相机的比例最高的位置为 %s 照相馆,比例为 %.2f%%\n', char('A'+opt_loc-1), max_pi*100);
```
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