R(m)=0.8^|m|的z变换

假设 $R(m) = 0.8^{|m|}$，其中 $m$ 是整数，$|m|$ 表示 $m$ 的绝对值。则 $R(m)$ 的 $z$ 变换为：

$$
\begin{aligned}
R(z) &= \sum_{m=-\infty}^{\infty} R(m) z^{-m} \\
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} 0.8^{|m|} z^{-m} \\
&= \sum_{m=0}^{\infty} 0.8^{m} z^{-m} + \sum_{m=1}^{\infty} 0.8^{m} z^{m} \\
&= \sum_{m=0}^{\infty} \left(0.8z^{-1}\right)^{m} + \sum_{m=1}^{\infty} \left(0.8z\right)^{m} \\
&= \frac{1}{1-0.8z^{-1}} + \frac{0.8z}{1-0.8z} \\
&= \frac{z+0.4}{z^2-1.6z+0.64},\quad |z|>0.8
\end{aligned}
$$

其中，我们使用了绝对值的性质 $|m|=m$（当 $m\geq 0$ 时），$|m|=-m$（当 $m<0$ 时）。最后一步使用了分式部分分解和等比数列求和公式。得到 $R(z)$ 的表达式后，需要满足 $|z|>0.8$ 的收敛条件。