乘幂法和反乘幂法的算法原理介绍

乘幂法和反乘幂法都是解决矩阵特征值和特征向量问题的迭代方法。

乘幂法是求解矩阵最大特征值和对应的特征向量的方法。其基本思想是从一个任意的非零向量开始，通过矩阵的连续乘积，使得向量向着特征向量的方向收敛。具体地，算法如下：

设矩阵A的最大特征值为λ1，对应的特征向量为x1，随机选择一个非零向量x0，令y0 = Ax0 / ||Ax0||，其中||.||表示向量的范数。然后通过连续迭代计算，得到向量y1 = Ay0 / ||Ay0||, y2 = Ay1 / ||Ay1||, ……, yn = Ayn-1 / ||Ayn-1||。当n足够大时，向量yn就会在方向上越来越接近特征向量x1，此时λ1的近似值即为向量yn的模长||Ayn||。

反乘幂法则是求解矩阵最小特征值和对应的特征向量的方法。其基本思想是通过将矩阵A的特征值变换为1/λ，然后再使用乘幂法求解，即可得到矩阵A的最小特征值和对应的特征向量。具体地，算法如下：

设矩阵A的最小特征值为λn，对应的特征向量为xn，随机选择一个非零向量x0，令y0 = (A - σI)-1x0 / ||(A - σI)-1x0||，其中σ是一个足够接近λn的常数，||.||表示向量的范数。然后通过连续迭代计算，得到向量y1 = (A - σI)-1y0 / ||(A - σI)-1y0||, y2 = (A - σI)-1y1 / ||(A - σI)-1y1||, ……, yn = (A - σI)-1yn-1 / ||(A - σI)-1yn-1||。当n足够大时，向量yn就会在方向上越来越接近特征向量xn，此时1/λn的近似值即为向量yn在矩阵A的特征值变换后的模长。