RSA算法原理——(3)RSA加解密过程及公式论证
时间: 2023-11-15 22:06:48 浏览: 62
RSA加解密的过程可以分为以下几个步骤:
1. 选择两个不同的质数p和q,并计算它们的乘积n = p * q。
2. 计算欧拉函数φ(n) = (p-1) * (q-1)。
3. 选择一个小于φ(n)且与φ(n)互质的整数e作为公钥,即公钥为(e, n)。
4. 计算e在模φ(n)意义下的逆元d,即满足ed ≡ 1 (mod φ(n))的d,d为私钥,即私钥为(d, n)。
5. 加密:将明文M转化为整数m(满足0 ≤ m < n),加密后的密文C为C ≡ m^e (mod n)。
6. 解密:将密文C转化为整数c,解密后的明文M为M ≡ c^d (mod n)。
RSA加解密的公式如下:
加密:C ≡ m^e (mod n)
解密:M ≡ c^d (mod n)
其中,e为公钥中的指数,d为私钥中的指数,n为公钥和私钥中的模数,m为明文,c为密文。
RSA算法的正确性可以通过以下公式进行证明:
根据欧拉定理,对于任意正整数a和与a互质的正整数n,都有a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
假设M为明文,C为密文,则有:
C ≡ M^e (mod n)
将e表示为φ(n)中的某个数k和φ(n)的余数r的和,即e = kφ(n) + r,则有:
C ≡ M^(kφ(n)+r) (mod n)
由欧拉定理可得:
M^φ(n) ≡ 1 (mod n)
因此,上式可以化简为:
C ≡ M^(kφ(n)+r) ≡ (M^φ(n))^k * M^r ≡ M^r (mod n)
因此,C可以表示为M的r次方模n的余数。而d是e在模φ(n)意义下的逆元,即ed ≡ 1 (mod φ(n)),可以表示为ed = kφ(n) + 1。将其代入解密公式中可得:
M ≡ C^d ≡ (M^r)^d ≡ M^(kφ(n)+1) (mod n)
由于M^φ(n) ≡ 1 (mod n),因此上式可以进一步化简为:
M^(kφ(n)+1) ≡ M * (M^φ(n))^k ≡ M (mod n)
因此,解密后得到的明文M与原明文M相等,证毕。
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