矩阵（-1 0 4，0 1 0，1 0 2）的特征值怎么求

要求一个矩阵的特征值，需要解该矩阵的特征方程。对于一个3x3的矩阵A，其特征方程为：

det(A - λI) = 0

其中，det表示矩阵的行列式，I表示单位矩阵，λ是特征值。

根据上述公式，可以列出矩阵（-1 0 4，0 1 0，1 0 2）的特征方程：

| -1-λ 0 4 | | λ+1 0 -4 |
| 0 1-λ 0 | × | 0 λ-1 0 |
| 1 0 2-λ | | -1 0 -λ-2|

对上式进行展开，得到：

(-1-λ) [(1-λ)(2-λ)] - 4[λ+1] - 0 - 0 - 0 = 0

化简上式，得到特征方程：

λ^3 + λ^2 - 7λ - 5 = 0

解出该方程的根，即为矩阵的特征值。可以使用牛顿迭代法、二分法等数值计算方法求解，也可以使用特征值分解的方法求解。

经过计算，该矩阵的特征值为：

λ1 = -3.7321，λ2 = 1，λ3 = 2.7321

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求矩阵的特征值和特征向量可以通过以下步骤进行：

1. 求解特征方程 det(A-λI) = 0，其中A为矩阵，I为单位矩阵，λ为特征值。

2. 解特征方程得到矩阵的特征值。

3. 对于每个特征值，求解齐次线性方程组 (A-λI)x = 0，其中x为特征向量。

在这个例子中，我们已经求得矩阵的特征值为-1，1，3。现在我们来求解最大特征值3对应的特征向量：

将特征值λ=3代入齐次线性方程组 (A-λI)x = 0 中，得到：

(2-3)x1 + 4x3 = 0

x2 = 0

x3 = (1/3)x1

将x1取任意值，比如x1=3，则有x3=1，代入第一个方程得到x2=3。因此，特征值为3的特征向量可以表示为(3, 0, 1)（也可以表示为任意与之成比例的向量）。

2x2矩阵[-2 0][0 -1]的奇异值是多少

### 回答1：
2x2矩阵[-2 0][0 -1]的奇异值是$\sqrt{(-2)^2+(-1)^2}=\sqrt{5}$。

请注意，奇异值是一个矩阵的特征值的平方根，其中特征值是一个矩阵的特征多项式的根。对于2x2矩阵，其特征多项式为$\lambda^2-tr(\mathbf{A})\lambda+det(\mathbf{A})$，其中$tr(\mathbf{A})$是矩阵$\mathbf{A}$的迹，$det(\mathbf{A})$是矩阵$\mathbf{A}$的行列式。因此，对于矩阵[-2 0][0 -1]，其特征多项式为$\lambda^2-(-2-1)\lambda+(-2)(-1)=\lambda^2+3\lambda+2$，其特征值为$\frac{-3\pm\sqrt{9-8}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{1}}{2}=\frac{-3\pm 1}{2}=-1,1$。因此，矩阵[-2 0][0 -1]的奇异值是$\sqrt{1}=1$。

### 回答2：
一个2x2矩阵[-2 0][0 -1]的奇异值是1和2。

奇异值在矩阵的奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）中起着重要的作用。SVD将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：U、S和V。其中U和V是正交矩阵，S是一个对角矩阵，对角线上的元素是矩阵的奇异值。对于一个2x2的矩阵，它的奇异值可以通过计算矩阵的特征值得到。

给定矩阵[-2 0][0 -1]，我们可以计算出它的特征值。首先，计算矩阵减去lambda乘以单位矩阵的行列式为0的特征方程：(-2-lambda)(-1-lambda)=0. 展开这个方程得到lambda^2 + 3lambda = 0. 这是一个一次方程，解为lambda=0和lambda=-3。

因此，矩阵的奇异值为矩阵的特征值的绝对值的平方根。特征值为0和-3，它们的绝对值分别为0和3。因此该矩阵的奇异值为sqrt(0)=0和sqrt(3)=2。

所以，给定矩阵[-2 0][0 -1]的奇异值为0和2。

### 回答3：
针对给定的2x2矩阵[-2 0][0 -1]，我们可以通过计算其奇异值来得到答案。

首先，我们需要将这个矩阵进行奇异值分解。奇异值分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积的一种方法，即A = UΣV^T。其中，U和V是正交矩阵，Σ是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的奇异值。

对于给定的矩阵[-2 0][0 -1]，它可以表示为UΣV^T的形式，其中：

U = [1 0][0 -1]
Σ = [-2 0][0 -1]
V^T = [1 0][0 -1]

根据定义，对角线上的元素是矩阵的奇异值。所以，我们可以得到奇异值为-2和-1。

因此，给定的2x2矩阵[-2 0][0 -1]的奇异值是-2和-1。