设一段文本中包含4个对象{a,b,c,d},其出现次数相应为{4,2,5,1},则该段文本的哈夫曼编码比采用等长方式的编码节省了多少位数? A. 0 B. 2 C. 4 D. 5
时间: 2024-02-19 19:03:19 浏览: 2
根据哈夫曼编码的原理,出现次数多的对象对应的编码长度应该尽量短,而出现次数少的对象对应的编码长度应该尽量长,以达到节约编码长度的目的。因此,对于给定的对象集合{a,b,c,d},其出现次数分别为{4,2,5,1},我们可以采用哈夫曼编码的方式来进行编码,计算其总的编码长度,再与等长编码的方式进行比较。
首先,我们需要根据出现次数来构建哈夫曼树。根据哈夫曼树的构建规则,我们可以先选择出现次数最小的两个对象d和b,计算它们的权重之和,即1+2=3,然后将它们作为一个新的节点插入到哈夫曼树中。此时,哈夫曼树的结构如下所示:
```
3
/ \
d b
```
接着,我们将出现次数次小的对象a插入到哈夫曼树中。由于a的出现次数比d和b的出现次数都要多,因此我们可以将a插入到d和b的上方,构建出一个新的节点c,它的权重为4+2=6。此时,哈夫曼树的结构如下所示:
```
6
/ \
3 c
/ \
d b
```
接下来,我们将出现次数最大的对象c插入到哈夫曼树中。由于c的出现次数最多,因此我们可以将c插入到根节点的上方,构建出一个新的节点e,它的权重为6+5=11。此时,哈夫曼树的结构如下所示:
```
11
/ \
6 c
/ \
d b
```
最终,我们将每个对象对应的编码从哈夫曼树的根节点开始递归求解。对于左子树的节点,我们在其编码的末尾添加一个0;对于右子树的节点,我们在其编码的末尾添加一个1。例如,对于对象a,其在哈夫曼树中的路径为左子树-左子树,因此它的编码为"00"。
根据上述过程,我们可以得到每个对象对应的哈夫曼编码如下所示:
```
a: 00
b: 10
c: 11
d: 01
```
根据哈夫曼编码的规则,我们可以计算出该段文本的总的编码长度为:4*2 + 2*2 + 5*2 + 1*2 = 20。即a的编码长度为2,出现次数为4,因此总的编码长度为4*2 = 8;b的编码长度为2,出现次数为2,因此总的编码长度为2*2=4;c的编码长度为2,出现次数为5,因此总的编码长度为5*2=10;d的编码长度为2,出现次数为1,因此总的编码长度为1*2=2。将它们相加,得到总的编码长度为20。
如果采用等长编码的方式,每个对象的编码长度均为3。因此,总的编码长度为:4*3 + 2*3 + 5*3 + 1*3 = 36。
因此,采用哈夫曼编码的方式可以节省的编码长度为:36-20=16位,即4个字节。因此,答案为C. 4。