简要阐述三类标准的线性矩阵不等式问题，并举例用MATLAB验证

三类标准的线性矩阵不等式问题分别为：

1. 双线性矩阵不等式问题（Bilinear Matrix Inequality，BMI）：这类问题中，矩阵不等式中包含两个变量的乘积项，例如 $X^T A Y + Y^T A^T X < 0$，其中 $X$ 和 $Y$ 是矩阵变量，$A$ 是已知矩阵。

2. 线性矩阵不等式问题（Linear Matrix Inequality，LMI）：这类问题中，矩阵不等式中只包含线性项，例如 $A^T X + X A < 0$，其中 $X$ 是矩阵变量，$A$ 是已知矩阵。

3. 半定矩阵不等式问题（Semidefinite Matrix Inequality，SDMI）：这类问题中，矩阵不等式中只包含半定项，例如 $X \succeq 0$，其中 $X$ 是矩阵变量。

下面举例用MATLAB验证一个LMI问题：

考虑一个线性控制系统，其状态方程为 $\dot{x} = Ax + Bu$，其中 $x$ 是状态向量，$u$ 是控制输入，$A$ 和 $B$ 是已知矩阵。我们希望设计一个状态反馈控制器 $u = -Kx$，使得系统的闭环稳定。为了满足这个要求，需要设计一个矩阵 $K$，使得矩阵不等式 $A^T P + PA - PBB^T P + Q < 0$ 成立，其中 $P$ 是对称正定矩阵，$Q$ 是对称半正定矩阵。

MATLAB代码实现如下：

% 系统参数
A = [-1 -2; 2 -3];
B = [1; 0];

% LMI参数
P = sdpvar(2, 2);
Q = sdpvar(2, 2);

% 定义LMI
LMI = [A'*P+P*A-P*B*B'*P+Q < 0, P > 0, Q > 0];

% 求解LMI
options = sdpsettings('solver', 'sedumi');
sol = optimize(LMI, [], options);

% 输出结果
if sol.problem == 0
    disp('LMI is feasible.');
    K = double(B'*P);
else
    disp('LMI is infeasible.');
end

这段代码中，我们使用 YALMIP 工具箱定义了矩阵变量 $P$ 和 $Q$，并且定义了LMI。然后使用 SDPT3 求解器求解LMI，并根据求解结果输出相应的控制器 $K$。