matlab 吉文斯(givens)变换求qr分解的代码

以下是使用吉文斯(givens)变换进行QR分解的MATLAB代码：

function [Q,R] = givens_qr(A)
% Givens QR分解
[m,n] = size(A);
Q = eye(m);
for j = 1:n
    for i = m:-1:j+1
        if A(i,j) ~= 0
            [c,s] = givens(A(j,j),A(i,j));
            G = [c -s; s c];
            A([j,i],j:n) = G*A([j,i],j:n);
            Q(:,[j,i]) = Q(:,[j,i])*G';
        end
    end
end
R = triu(A);
end

function [c,s] = givens(a,b)
% 计算Givens矩阵的元素
if b == 0
    c = 1;
    s = 0;
elseif abs(b) > abs(a)
    t = -a/b;
    s = 1/sqrt(1+t^2);
    c = s*t;
else
    t = -b/a;
    c = 1/sqrt(1+t^2);
    s = c*t;
end
end

函数`givens_qr`实现了吉文斯变换的QR分解，函数`givens`计算Givens矩阵的元素。由于吉文斯变换是一种稳定的QR分解算法，因此可以用于求解病态矩阵的QR分解。

相关问题

用matlab实现基于施密特正交化方法的QR分解；用matlab 找例子说明它在某些情况下效果不好； 用matlab说明基于吉文斯变换的QR分解并检验对上边例子是否有好的效果

在MATLAB中实现基于施密特正交化方法的QR分解可以通过Gram-Schmidt过程来完成，这个过程涉及到将一组线性无关的向量转换成一组正交向量，同时形成一个上三角矩阵R。QR分解是将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。

以下是一个简单的MATLAB例子，展示了如何进行Gram-Schmidt过程来实现QR分解：

A = [1 2 1; 2 3 2; 3 4 4];
[m,n] = size(A);
Q = zeros(m,n);
R = zeros(n,n);

for k = 1:n
    q = A(:,k);
    for i = 1:k-1
        q = q - (A(:,i)' * A(:,k)) / (A(:,i)' * A(:,i)) * A(:,i);
    end
    Q(:,k) = q / norm(q);
    for j = k:n
        R(k,j) = Q(:,k)' * A(:,j);
    end
end

disp(Q); % 显示正交矩阵Q
disp(R); % 显示上三角矩阵R

对于某些情况，如当矩阵A中的某些列是线性相关的，或者矩阵的列向量接近线性相关时，Gram-Schmidt过程可能会导致数值不稳定性，因为可能会出现除以非常小的数的情况，从而放大舍入误差。

对于这种情况，我们可以使用基于Householder变换或Givens旋转的QR分解方法，这些方法更加稳定。在MATLAB中，可以使用内置函数`qr`来进行这种稳定的QR分解。如果需要演示QR分解的效果，可以比较Gram-Schmidt过程和`qr`函数得到的R矩阵的条件数，条件数大的可能表明数值稳定性较差。

以下是使用MATLAB内置函数`qr`进行QR分解的例子：

A = [1 2 1; 2 3 2; 3 4 4];
[Q, R] = qr(A);

disp(Q); % 显示正交矩阵Q
disp(R); % 显示上三角矩阵R

最后，为了说明基于Givens旋转的QR分解的效果，我们可以直接使用`qr`函数计算并比较结果：

A = [1 2 1; 2 3 2; 3 4 4];
[Q, R] = qr(A, 0); % 0表示使用经典的Gram-Schmidt过程

% 现在我们使用Givens旋转来改进QR分解
[Q, R] = qr(A, 'econ'); % 'econ'模式下MATLAB使用Householder反射

disp(Q); % 显示正交矩阵Q
disp(R); % 显示上三角矩阵R

用matlab实现 1 基于施密特正交化方法的QR分解； 2 找例子说明它在某些情况下效果不好； 3 基于吉文斯变换或豪斯霍尔德变换的QR分解（二选一），并检验对2中的例子是否有好的效果

1. 在MATLAB中实现基于施密特正交化方法的QR分解，可以通过Gram-Schmidt过程来完成。以下是一个简单的例子：

function [Q, R] = gram_schmidt(A)
    [m, n] = size(A);
    Q = zeros(m, n);
    R = zeros(n, n);
    for j = 1:n
        v = A(:, j);
        for i = 1:j-1
            v = v - (Q(:, i)' * A(:, j)) * Q(:, i);
        end
        Q(:, j) = v / norm(v);
        for i = j:n
            R(i, j) = Q(:, i)' * A(:, j);
        end
    end
end

这个函数`gram_schmidt`接受一个矩阵`A`作为输入，并输出正交矩阵`Q`和上三角矩阵`R`。需要注意的是，MATLAB内置函数`qr`也能执行QR分解，但在学习算法细节时，手写Gram-Schmidt过程是一个很好的练习。

2. 施密特正交化方法在某些情况下可能会遇到数值稳定性问题。特别是当输入矩阵A的列向量之间高度相关或者接近线性相关时，Gram-Schmidt过程可能会放大舍入误差，导致结果矩阵Q失去正交性，R的对角线元素可能不再是准确的。例如，如果A的一个列向量是其它列向量的线性组合，那么Gram-Schmidt过程可能会产生一个非正交的Q矩阵。

3. 基于吉文斯变换（Householder Transform）的QR分解通常在数值稳定性方面比Gram-Schmidt过程更好。下面是一个简单的MATLAB实现：

function [Q, R] = householder_qr(A)
    [m, n] = size(A);
    H = eye(m);
    R = A;
    for j = 1:n
        x = R(j:m, j);
        v = x;
        v(1) = v(1) + sign(v(1)) * norm(x);
        v = v / norm(v);
        H_j = eye(m);
        H_j(j:m, j:m) = eye(m) - 2 * v * v';
        R = H_j * R;
        if j < m
            H = H * H_j;
        end
    end
    Q = H';
end

这个函数`householder_qr`同样接受一个矩阵`A`作为输入，并输出正交矩阵`Q`和上三角矩阵`R`。为了检验这种方法是否能改善效果不好的情况，可以选择一个接近奇异或者列向量高度相关的矩阵作为例子，然后使用`householder_qr`函数进行QR分解，并检查结果的数值稳定性。